Musik och matematik

2012-12-05 04:32  

Den moderna naturvetenskapen har sitt ursprung i musiken, närmare bestämt i de musikaliska experiment som den grekiske filosofen och matematikern Pythagoras utförde på 500-talet före vår tideräknings början.

Det finns i all musik, inte bara i västerländsk, två grundläggande skönklingande tonintervall, nämligen oktaven och kvinten. Oktaven är vår tonskalas åttonde ton, den ton som låter lika som grundtonen, fast högre. Exempelvis de två första tonerna i ”Somewhere Over the Rainbow”. Kvinten är skalans femte ton. Som i början av ”Blinka lilla stjärna där”.

Den grekiske matematikern Pythagoras experimenterade på 500-talet före vår tideräknings början med strängar som han knäppte och slog på. Han upptäckte då att om en godtycklig sträng av en viss längd gav en viss ton – som vi kan kalla grundtonen – så gav av halva längden av samma sträng oktaven till grundtonen. Men inte nog med det. En sträng med längden 2/3 av grundtonens gav kvinten.

Pythagoras, som i vanliga fall sysslade med talteori, blev oerhört entusiastisk över sin upptäckt. Han hävdade att naturens innersta väsen var hel­talen och att Gud var matematiker. Detta var första gången ett fenomen i naturen uttrycktes som ett talförhållande – första gången som naturen lät sig kvantifieras.

Sedan Pythagoras dagar har matematiken blivit en självklar del av fysikaliska modeller. Men Pythagoras var alltså först.

Pythagoras fortsatte  sina experiment. Han upptäckte att om man tog kvinten på kvinten, och därefter kvinten på denna ton etcetera, fick man en serie om 12 toner där man till slut kom tillbaka till grundtonen igen, fast sju oktaver upp. Om man sedan flyttade ner varje ton ett lämpligt antal oktaver fick man en skala av tolv halvtoner som resultat.

Pythagoras hade därmed konstruerat vad som kallas kvintcirkeln, vilken ligger till grund för modern västerländsk harmonilära. Figuren visar kvintcirkeln med moderna beteckningar. Mellan två angränsande toner är intervallet alltid en kvint.

Pythagoras upptäckte dock snart att det fanns en hake i hans system. Närmare undersökningar visade att det hela inte riktigt stämde. Staplar vi tolv kvinter på varandra kommer vi inte riktigt tillbaka till grundtonen, utan en kvarts ton för högt. Himla förargligt!

Man kan lätt kontrollräkna:

(2/3)12 = 0,007707347  men (1/2)7 = 0,0078125

Den här lilla irriterande skillnaden kallas ”Pythagoras komma”, och har ställt till en hel del problem. Inte minst för pianostämmarna.

Det finns emellertid  också ett annat sätt att bestämma skalans toner, nämligen att utgå från de övertoner som bildas när en sträng svänger eller när en luftpelare vibrerar i ett blåsinstrument.

Strängen ger grundtonen när den svänger likt ett hopprep med en buk på mitten. Men den kan också svänga med olika antal noder och ge en rad övertoner. I själva verket ger en sträng alltid många toner samtidigt. Det är styrkan hos övertonerna som ger tonen dess klangfärg.

Också bland övertonerna finns kvinter och oktaver, men dessutom andra toner. Tersen, skalans tredje ton, är en mycket viktig ton i musiken, eftersom den ingår i treklangen: grundton-ters-kvint. Tersen och treklangen finns exempelvis i ”Alla fåglar kommit re´n”. Tersen är vidare den ton som bestämmer om tonarten är i dur (stor ters) eller moll (liten ters).

Tyvärr visar det sig att den (stora) ters som vi får genom att stapla Pythagoras kvinter och den naturliga övertonstersen inte stämmer överens. Pythagoras ters är högre och klingar falskt jämfört med den rena övertonstersen. Det här gjorde nu inget så länge som man enbart sysslade med enstämmig sång eller musik på stråkinstrument, där musikern kunde finjustera tonhöjden tills det lät bra genom att maka på fingret en smula. Men för flerstämmig musik och för instrument med fasta toner – orglar, spinetter, cembali och liknande – gick det inte.

Det visade sig att om man stämde ett sådant instrument efter Pythagoras system lät det illa, och stämde man det ”rent” gick det bara att spela i en enda tonart. Bara ett fåtal treklanger lät bra. Alla andra lät falskt.

Problemet är att varje grundton har sina speciella övertoner. Av en grundtons övertoner kan man bygga upp en tonskala, men dessa toner skiljer sig från de övertoner man får när man använder tersen som grundton. Det naturliga systemet var alltså också behäftat med fel. På 1500- och 1600-talen försökte man stämma orglar efter ”medeltonsystemet”. Det gick ut på att ge C-dur och tonarterna däromkring rena terser, vilket emellertid gjorde att andra treklanger lät skriande falska. Detta innebar begränsningar för både musiker och kompositörer – större delen av alla möjliga treklanger var ju förbjudna.

År 1706 föreslog den tyske musikern J G Niedhardt ett system kallat ”den liksvävande tolvdelade temperaturen”. Det gällde att dela upp det pythagoreiska kommat på skalans alla toner och stämma instrumenten så att alla halvtonsintervall i skalan blev lika. Detta innebar att det överhuvudtaget inte blev några rena intervall (mer än oktaven). Både ters och kvint blev nu lite för låga, men felen var så pass små att de inte störde nämnvärt. Fördelen var att man äntligen kunde spela i alla tonarter.

Johann Sebastian Bach blev så förtjust över den nya tempererade stämningen att han snabbt skrev 24 preludier och fugor med titeln ”Das wohltemperierte Klavier”, ett stycke för varje tonart i både dur och moll. De här musikstyckena hör väl knappast till Bachs mer högtstående verk, utan skrevs nog mest för att visa vad som nu gick att spela.

I dag är alla instrument med fasta tonlägen stämda tempererat. Alla skalans toner är likvärdiga, precis som Pythagoras på sin tid ville ha dem till att vara.  För att åstadkomma detta använder dagens pianostämmare elektroniska hjälpmedel, vilket gör deras arbete betydligt enklare än förr. Det är nämligen svårt att på gehör stämma alla tonerna en smula fel.

Likvärdigheten har gjort att harmoniken har kunnat utvecklas. I dag kan musiker stapla stora och små terser på varandra och bygga upp klanger och ackord som tidigare var fullständigt otänkbara. Stycken av den brasilianske kompositören Antonio Carlos Jobim (han som skapade Bossa Nova), som ”Desafinado” och ”Girl from Ipanema”, kastar sig lekande lätt mellan kvintcirkelns alla tonarter.

Det trick som ofta används i Eurovisionsschlagersammanhang, att höja med en halvton i sista refrängen för att höja intensiteten, var en harmonisk omöjlighet på 1600-talet. Det skulle ha låtit förfärligt. 

Kaianders Sempler

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt

Läs mer