Logaritmernas upptäckt

2015-01-14 05:35  

För fyrahundra år sedan publicerade skotten John Napier de första logaritmtabellerna. Nu blev det möjligt att göra komplicerade multiplikationer och divisioner snabbt och enkelt.

Det är höst år 1614. Vi befinner oss i arbetsrummet i Merchiston Castle, familjen Napiers herresäte strax utanför Edinburgh i Skottland, när det bultar på porten. Butlern går för att öppna. Några ögonblick senare är han tillbaka. Slottsherren själv, John Napier tittar upp.

Professor Henry Briggs från London, säger butlern och visar in en man i femtioårsåldern. Napier och hans gäst sätter sig ner i varsin fåtölj.

Så blir de sittande tysta och betraktar leende varandra under femton minuter. Till sist bryter Briggs tystnaden.

Min herre. Jag har företagit denna långa resa för att få veta vad det var som fick er att komma på denna geniala upptäckt som är av så stor hjälp för astronomin, nämligen logaritmerna. Men, när jag nu är här kan jag inte låta bli att undra varför ingen upptäckt det hela tidigare? Det är ju så enkelt!

Vad var det då för fantastisk upptäckt som John Napier gjort? Jo, han hade funnit en metod att förenkla krångliga och tidsödande multiplikationer och divisioner med många siffror och ersätta dem med enklare additioner och subtraktioner. Sin upptäckt hade han publicerat 1614 i verket ”Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”, där han gav en tabell över sina logaritmer.

Napiers logaritmer lovade inte bara att göra astronomernas liv enklare, hans metod gick också att använda inom bankvärlden för att beräkna hur ett kapital växer med ränta på ränta.

John Napier var en förmögen skotsk excentrisk ädling med många strängar på sin lyra. Det berättas att han liksom Arkimedes gjorde en rad militärtekniska uppfinningar – som en automatisk kulspruta, speglar som kunde tända eld på fiendens fartygs segel, en pansarvagn och en artilleripjäs som var så kraftfull att den dödade all boskap inom flera kilometers radie. En uppfinning som han skrämdes av och snabbt övergav.

Ett av hans stora intressen var Bibeln, och han tillbringade många nätter med att läsa Uppenbarelseboken och kalkylera det exakta datumet för jordens undergång. Matematiken betraktade han som en hobby vid sidan om. Han roade sig med att konstruera ett multiplikationshjälpmedel kallat Napier’s Bones, med vilket man kunde multiplicera enklare tal utan att använda andra räknesätt än addition.

Vid den här tiden fanns en metod kallad Prosthaphaeresis som förenklade beräningar med mångsiffriga tal. Det hela byggde på förhållandet att cosx·cosy = [cos(x+y)+cos(x-y)]/2, där man med hjälp av sinustabeller kunde göra tidsödande beräkningar utan att behöva multiplicera och dividera. Metoden hade utvecklats i Tyskland på 1500-talet och användes av bland andra astronomen Tycho Brahe, men den var långt ifrån optimal. Napier beslöt sig för att finna en bättre metod. Resultatet blev vad han kallade logaritmer efter grekiskans logos, princip, och arithmos, räkning.

Det sägs att Napier upptäckte sina logaritmer 1590 och sedan tillbringade över 20 år med att räkna ut logaritmtabeller. Hans upptäckt väckte omedelbart stort intresse bland astronomer över hela Europa, men de fick ge sig till tåls ända till 1614 när hans tabeller äntligen publicerades och den nya räknetekniken kunde användas.

Vad är då logaritmer? Här är ett exempel. Vi tänker oss två serier av tal:

0    1    2    3    4     5     6      7      8      9

1    2    4    8   16   32   64   128  256  512

Den undre raden är en geometrisk serie där talen hela tiden fördubblas: 1, 2, (2·2), (2·2·2), (2·2·2·2) etc, vilket med modern notation också kan skrivas 20, 21, 22, 23 etc. Som synes har vi gjort en tabell där vi kan se vad resultatet blir om ett antal tvåor multipliceras med varandra. Vi ser att 23=8 och 26=64. Låt oss nu multiplicera dessa två tal. Då får vi (2·2·2)·(2·2·2·2·2·2)= 23·26 = 2(3+6)=29=512. Vips har multiplikationen förvandlats till addition. Det krävs förstås att vi vet att 8 är 23, att 64 är 25 och att 29=512. Men det kan vi ju se i vår hemmagjorda tabell.

Tyvärr är vår logaritmtabell med basen två något begränsad. Den innehåller ju bara några enstaka tal. Men om vi ansträngde oss skulle vi kunna fylla i luckorna och räkna ut till vad två behöver upphöjas för att bli tre, fem och alla andra tal vi kan komma använda i våra räkningar, och detta med lämpligt antal siffrors noggrannhet. Det blir mycket jobb för att få fram tabellen, men när den väl är klar går ­beräkningarna som en dans.

Nu var det inte riktigt så här Napier gjorde för att få fram sina logaritmer. Begreppet exponenter var fortfarande okänt, så Napier fick gå en annan väg för att komma fram till samma sak. Vidare var de Napierska logaritmerna avsedda för astronomiska räkningar med sinus och cosinus för vinklar, och de hade egentligen ingen bas utan var mer komplicerat uppbyggda. Redan under sitt första besök i Merchiston Castle var Henry Briggs var på det klara med att Napiers logaritmer inte var de bästa för vardagligt bruk. Låt oss hoppa tillbaka till 1614:

Vore det inte bättre, säger Henry Briggs, att välja ­talet tio som bas för logaritmerna? Det skulle nog lämpa sig bättre för vanliga uträkningar. Då skulle ju samma uppslagsvärde kunna användas även om talet multiplicerades med valfri multipel av tio.

Jag har också kommit fram till den slutsatsen, svarar Napier, men det får någon annan göra. Jag har tillbringat 23 år med att räkna ut en miljon siffervärden för mina logaritmer, och jag orkar inte göra om det igen för en ny tabell med tiologaritmer. Det får ni göra, professor Briggs.

Och så blev det. Det tog bara fem år innan Briggs, med lite hjälp, färdigställt en femställig tabell över tiologaritmer, de vi i dag kallar ”vanliga” eller briggska logaritmer.

Det visade sig snart att logaritmernas princip kunde användas till ett räknehjälpmedel som vida överträffade Napiers ben. 1622 hade matematikern William Oughtred konstruerat räknestickan, med vars hjälp man rasande snabbt kunde göra överslagsberäkningar.

Det var inte bara Napier som kommit på principen för logaritmerna. En schweizisk urmakare vid namn Joost Bürgi hade jobbat som assistent till Kepler i Prag, och precis som Napier hade han sökt efter en metod för att ersätta krånglig multiplikation och division med addition och subtraktion. Bürgi utgick från potensbegreppet som nyligen formulerats av en tysk matematiker vid namn Stiefel och skapade en egen logarimtabell med basen 1,001. Den fungerade lika bra som Napiers och Briggs tabeller, men den fick aldrig någon spridning. Det blev Briggs tabeller som slog igenom. Tiologaritmerna är att de består av en heltalsdel, karakteristikan, och en decimaldel, mantissan. Finessen med det hela är att karakteristikan bestämmer var decimalkommat ska sitta (och hur många nollor som ska sättas framför eller efter talet) medan mantissan ger själva talet. Exempelvis är log 2=0,3010, log 20=1,3010 och log 200=2,3010. På samma sätt är Log 0,2=0.3010-1, log 0,02=0,3010-2 och log 0,002=0,3010-3.

Det skulle dröja till mitten av 1700-talet innan Briggs tiologaritmer fick konkurrens, då av Eulers ”naturliga” logaritmer med basen e, det trancendentala och irrationella tal som dyker upp här och där i matematiken och är ungefär 2,71828. e-logaritmer brukar betecknas ln medan de briggska tiologaritmerna betecknas log.

Napiers ben

Som hjälpmedel för multiplikation uppfann John Napier vad som kallas ”Napiers ben” (Napier's Bones), en serie stavar (bones) med multiplikationstabeller för vart och ett av heltalen 1–9. (se figuren i spalten till höger)

För att multiplicera ett tal tog man en stav för varje siffra i talet och la dem bredvid varandra. Skulle man nu multiplicera talet med exempelvis tre gick man ner tre steg på stavarna, och skrev sedan upp de siffror man fick från höger till vänster. (Se åter figuren).

Vid multiplikation med flersiffriga tal fick man själv addera resultaten från de ensklda miultiplikationerna.

Napiers ben är alltså inte till särskilt mycket till räknehjälp. De är mer ett kuriosum, men kan kanske användas i undervisningen på mellanstadiet.
Det kan gå åt många stavar. Ska man till exempel multiplicera talet 4444 med något behöver man fyra likadana stavar för talet fyra.

Konsten att räkna med cosinustabeller

Prosthaphaeresis är det tungvrickande namnet för metoden, och är grekiska för ”addition och sub­traktion”. Precis som när man räknar med logaritmer kan man ersätta tidsödande multiplikationer och divisioner med enkel addition och subtraktion samt en smula tabellslående.

Metoden bygger på förhållandet att cosx·cosy = [cos(x+y)+cos(x-y)]/2

Ska vi multiplicera två tal a och b låter vi cosx = a och cosy=b, och slår upp x och y i cosinustabellen. Därefter beräknar vi x+y och x-y, går åter till tabellen och sätter in värdena i formeln. Givetvis måste talen a och b vara i intervallet mellan -1 och 1, det är ju bara där som det finns några värden för sinus och cosinus, men det ordnas lätt genom att multiplicera talen med lämpliga tiopotenser.

Prosthaphaeresis användes i ökan­de utsträckning i slutet av 1500-talet, men metoden försvann snabbt med logaritmernas intåg på 1600-talet.  KS

Kaianders Sempler

Mer om: matematik

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt

Läs mer