Miniproblemet: Djävulens biljardbord

På ett biljardbord med idealt elastiska stötar mot sidorna kan en boll från utgångsläge A träffa en annan boll i läge B, oavsett var A och B befinner sig.

Betrakta nu i stället ett L-format bord. Även då kan en boll från varje tänkbart utgångsläge nå varje annan boll. Hur är utgångshastighetens riktning för boll A relaterad till hastighetens riktning just innan B träffas, i ett idealiserat fall enligt figuren, där A träffar B efter så få stötar som möjligt mot sidorna?

En något kryptisk ledning är att tänka på en cykel i mörker. Sedan utvidgar vi frågan och undrar om det finns något bord i form av en oregelbunden polygon med N raka sidor där vissa lägen A och B aldrig kan förbindas med en serie ideala stötar mot sidorna.

Svaret längre ned på sidan:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

LÖSNING:

Problemet är ekvivalent med frågan om en punktformig ljuskälla vid A alltid kan belysa ett läge B, vid speglande sidor.

Tänk nu på hörnreflektorn i cykelns ”kattöga”. En ljusstråle som träffar ena sidan av hörnet reflekteras sedan mot hörnets andra sida och återkastas i rakt motsatt riktning. (Gäller i både två och tre dimensioner.)

I figurens fall inser vi då, utan detaljerade räkningar, att begynnelse- och sluthastigheterna blir parallella och motriktade när A studsar mot sidorna i övre högra hörnet och träffar B.

Den andra frågan, först ställd 1969, är inget miniproblem utan extremt komplicerad. Inte förrän 1995 visades, genom ett motexempel med 26 sidor, att det går att konstruera en sådan polygon. Sök på nätet under George Tokarsky för att se hans lösning.