Miniproblemet: Hur flyttar sig graderna över kartan?

2021-11-21 08:00  
Illustration: Ola Skogäng

När det luktar instängt – hur mycket måste vi vädra? Fysikprofessor Göran Grimvall ger oss detta och två andra teknikproblem att fundera på.

1. Position för drivmedelspump

En av Sveriges stora leverantörer av drivmedel för motorfordon anger koordinaterna för deras automatstationer. I ett fall kan man läsa

Lat. 59.35307°

Long. 18.01738°

I miniproblemet frågar vi oss vilken skillnad i position, uttryckt i meter, det skulle bli om sista siffran i värdena för latitud och longitud ändras med en enhet. 

Frågeställningen är något mer komplicerad än vad man först kanske tror. Det finns flera acceptabla skrivsätt för koordinaterna. De kan uttryckas i grader, minuter, sekunder eller bara som grader uttryckt med decimaltal. I vårt fall är det uppenbart att decimalsystemet används, med decimaltecknet här betecknat med en punkt. (I SI-systemet används kommatecken i de flesta språk, men i engelsk text kan man använda en punkt.)

En annan skillnad ligger i att latitud kan definieras på olika sätt eftersom jorden inte har formen av en perfekt sfär. En geodetisk latitud definieras som vinkeln mellan ekvatorsplanet och en linje vertikalt genom den punkt som latituden gäller. För en icke-sfärisk jord kommer denna linje inte att gå genom jordens centrum. En så kallad sfärisk latitud anger vinkeln mellan ekvatorsplanet och en linje genom jordens centrum till den aktuella punkten.

I miniproblemet ska vi inte fördjupa oss i dessa komplikationer, gps-koordinater eller Lantmäteriverkets princip för positionsangivelse i svenska kartors rutnät. I stället bör läsaren kunna svara på den ställda frågan genom enkel huvudräkning, utan att ta till papper och penna eller räknedosa. Det räcker med ett svar som är korrekt så när som på 1 meter.

2. Vändradier

Begreppet vändradie (svängradie) kan ibland vålla förvirring. Ofta menar man vänddiameter, som matematiskt är dubbla vändradien. Bilfabrikanter brukar ange värden för vänddiameter – inte vändradie. En personbil kan typiskt ha en vänddiameter på drygt 10 meter. Det kan definieras som den minsta bredd en gata måste ha för att en bil ska kunna vändas så att den kör åt motsatt håll, utan att man behöver backa under manövern.

Det finns en gräns för hur mycket bilens framhjul kan vridas. För hjulen på en rullator (rollator) och för en kundvagn i livsmedelsaffären finns ingen sådan gräns utan så kallade länkhjul kan vridas runt i alla riktningar. Kundvagnen brukar ha helt svängbara hjul i alla fyra hörnen medan rullatorn har fasta bakre hjul. I båda fallen kan man köra framåt och bakåt och vrida hela konstruktionen. Det är därför inte självklart vad man då ska mena med svängradien eller vänddiametern. 

Ett mått på hur lätt det är att svänga med en rullator är det minsta avstånd som krävs mellan de två parallella väggarna i en korridor, när man vill kunna ändra rörelseriktning i korridoren. Det är ett sådant mått (”turning width”) som används i den internationella standarden för rullatorer ISO 11199-2:2021.

Eftersom hjulen, och andra delar på rullatorn, kan sticka ut på olika sätt i skilda modeller så varierar modellernas totala längd och bredd. I miniproblemet fokuserar vi på problemets princip och förenklar därför frågeställningen.

Vi betraktar ett tänkt rektangulärt underrede med kantlängderna 60 cm och 80 cm och ”oändligt små” hjul i hörnen. Vad blir då den teoretiskt minsta korridorbredd där en sådan konstruktion kan vändas? Läsaren bör kunna ge ett numeriskt svar direkt utan att ta fram papper och penna eller använda räknedosa.

3. Ventilation i klassrum

Enheten olf föreslogs 1987 av professor P Ole Fanger vid Danmarks Tekniske universitet som ett mått på hur människor uppfattar lukt som en luftförorening. 1 olf representerar lukten som avges av en standardperson, definierad som en frisk vuxen sittande kontorsarbetare eller motsvarande i bekväm temperaturbalans med omgivningen och som har kroppsarean 1,8 kvadratmeter och tar 0,7 bad per dag. 

Namnet kommer av latinets olfactus (luktsinne). En svettig idrottare kan avge flera tiotals olf och en rökare (som inte röker just då) kanske 5 olf. Måttet kan också användas på föremål. En kvadratmeter linoleummatta kan till exempel avge 0,2 olf. Alla dessa värden är dock mycket ungefärliga.

Luftkvaliteten beror på styrkan av föroreningskällan (uttryckt i olf) och är omvänt proportionell mot ventilationen (uttryckt i liter per sekund). För detta införde Fanger enheten decipol, definierad som

1 decipol = 0,1 olf/(l/s) 

Det betyder att 1 decipol svarar mot lukten från en standardsperson (1 olf) som omsveps med 10 liter ren luft per sekund. Då finner ca 15 procent av alla försökspersoner att lukten är besvärande och den andelen ökar snabbt med högre värde uttryckt i decipol. Enhetsnamnet pol (decipol) anknyter till latinets pollutio, förorening. Det är bildat i analogi med decibel för buller och ljudintryck.

För klassrum rekommenderas ett luftflöde som motsvarar högst ca 1 decipol. Hur många luftväxlingar per timme kräver detta?

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Lösningar

1. Position för drivmedelspump

Svaret är ca 1 meter för såväl latitud som den givna longituden. 

När metersystemet utvecklades i Frankrike på 1790-talet ville man knyta längdenheten till något universellt i stället för till exempel längden av kroppsdelar. Valet föll på jordmeridiankvadranten, avståndet mellan geografiska nordpolen och ekvatorn mätt längs den bana som passerade Paris. Det sattes till 10 000 000 meter. 

År 1799 realiserades metern i form av en så kallad arkivmeter gjord av platina. Namnet kommer av att den förvarades i Archives de la République i Paris. Metersystemet fastställdes internationellt genom Meterkonventionen som skrevs under av 17 länder, bland dem Sverige, i Paris år 1875. Nu är 63 länder anslutna, inklusive bland annat USA år 1878. 

Efter meterkonventionen blev arkivmetern år 1889 ersatt av meterprototypen, en stav av platina och iridium, som därefter definierade meterns längd. År 1960 definierades metern som ett visst antal våglängder för en spektrallinje i krypton-86. År 1983 knöts definitionen av metern till en naturkonstant; ljusfarten i vakuum gavs det exakta värdet 299 792 458 m/s. 

Nu åter till miniproblemet. Om det hade varit 100 vinkelgrader mellan pol och ekvatorn skulle varje breddgrad uppta längden 100 000 meter. En ändring av sista siffran i det angivna femsiffriga decimalvärdet vid pumpen innebär en ändring motsvarande längden 1 meter. Nu omfattar jordmeridiankvadranten 90 grader och inte 100, men det ökar bara det sökta avståndet med cirka 11 centimeter. 

En ändring av 1 grad i longitud skulle vid ekvatorn ge samma värde som för latituden men det avståndet minskar till 0 vid polen. För en tänkt sfärisk jord varierar minskningen som cosinus för latitudvinkeln. Vårt fall ger cos(60°) = 0,5. Eftersom vi bara sökte ett avstånd så när som på 1 meter bör svaret 1 meter vara acceptabelt utan att vi gör en sådan noggrannare beräkning.

2. Vändradier

Svaret är 100 cm. För att en rektangel ska kunna vridas helt om i en korridor måste korridorbredden vara minst lika med diagonalens längd i rektangeln. Den får vi med Pythagoras sats. I vårt fall förhåller sig kateternas längder som 3 till 4. Då bör läsaren känna till att en så kallad egyptisk triangel med kateter 3 och 4 har hypotenusan 5.

3. Ventilation i klassrum

Anta att varje person avger 1 olf. För att få 1 decipol krävs ventilationen 10 liter per sekund och skolelev. Om en elev behöver 2 kvadratmeter golvarea och takhöjden är 3 meter ska 6 000 liter luft bytas ut med 10 liter per sekund, det vill säga helt bytas ut på 600 sekunder eller 6 gånger per timme. Det är en rimlig uppskattning. Folkhälsomyndigheten anger att uteluftsflödet i skolor och förskolor bör vara minst 7 l/s och person + minst 0,35 l/s per m2 golvarea.

När många personer sitter i ett rum med dålig ventilation händer det att någon säger: ”öppna ett fönster så att vi får syre”. Men det är inte syretrycket som är för lågt. I så fall skulle vi inte tåla att vistas i fjällstugan på hög höjd. Inte heller är det fråga om att koldioxidhalten i rummet, orsakat av utandningsluften, blir för hög. Ändå uttrycks krav på inomhusluftens kvalitet med ett gränsvärde för volymhalten koldioxid. Det man egentligen känner av är ett högt decipolvärde orsakat av alla personer i rummet men det är svårt att mäta, i motsats till koldioxidhalten. Och ventilation hjälper i båda fallen. 

I utomhusluft är volymhalten koldioxid ca 0,04 procent. Arbetsmiljöverket rekommenderar att volymhalten är högst 0,10 procent i lokaler där många personer vistas. Man ser ofta att detta anges som gränsvärdet 1 000 ppm, ”parts per million”. 

Begreppen ppm och ppb (”parts per billion”) ska inte användas av flera skäl. De är språkberoende; ordet billion är en miljard på engelska medan en biljon är lika med en miljon miljoner. Begreppet halt kan syfta på såväl volymhalt som masshalt. Gränsvärden för koldioxid avser volymhalt.

Liksom i så många andra fall är det ett segt arbete inom standardisering att få fackfolk att överge äldre språkbruk och ange vad slags halt det gäller och att uttrycka den som ett tal (till exempel i procent). I standardisering får det aldrig uppkomma tveksamhet vad som avses, även om det är ”självklart” för specialisten.

Göran Grimvall

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt