Matematikern i badet

2012-11-14 07:11  

Arkimedes från Syrakusa är mest berömd för sin princip, att kroppar nedsänkta i vatten förlorar vikten av den vätska de undantränger. Men hans största bedrift var nog att han på 200-talet före Kristus fann det första embryot till en allmän integralkalkyl.

Det berättas att kung Hieron den andre av Syrakusa, en vis och statsklok tyrann som under sin regeringstid fört fram sin stad till den mest lysande av Siciliens städer, hade en guldsmed som han misstänkte bedrog honom. Genom att systematiskt blanda ut dyrt guld med billigt silver gjorde sig guldsmeden avsevärda förtjänster på kungens bekostnad. Det tråkiga var att kungen inte kände till något sätt att bestämma guldhalten i ett föremål och därmed kunna avslöja guldsmedens bedrägeri. Hieron vände sig därför till sin vän Arkimedes med det delikata problemet.

Arkimedes löste problemet i badet, enligt legenden. Han ska ha märkt hur hans lemmar blev viktlösa i vattnet, och när han hade funderat en stund formulerade han vad vi i dag kallar Arkimedes princip:

En kropp som nedsänks i en vätska förlorar lika mycket i vikt som vikten av den vätska som kroppen undantränger.

Arkimedes lär ha blivit så förtjust över sin upptäckt att han spritt språngande naken rusade hem genom Syrakusas gator ivrigt ropande ”Eureka!” – jag har funnit det. Med hjälp av en enkel balansvåg kunde han sedan lätt visa att den specifika vikten – och därmed guldhalten – var lägre i kungens krona än i en garanterat gedigen guldring. Bedrägeriet kunde äntligen avslöjas och guldsmeden blev ett huvud kortare.

Av Arkimedes badkar upptäcker jag intet i dagens Siracusa, men jag tycker mig skymta en naken vitskäggig karl med fäktande armar springa över bron till stadsholmen Ortygia inför förvånade turisters ögon. Han viker av vid ruinerna av Apollotemplet vid brons södra sida, kryssar mellan de ilsket tutande italienska småfiatarna i den täta trafiken och försvinner in i gyttret av gränder.

I dag är Siracusa en siciliansk landsortsstad som mest är berömd för sitt skyddshelgon Santa Lucia och sina utsökta citroner. Men här ligger också, fast mer än tvåtusen år tillbaka i tiden, ett av den antika världens mest betydande kultur- och handelscentra – det grekiska Syrakusa.

Redan på sjuhundratalet f Kr inleddes grekernas kolonisation av Sicilien och Syditalien, det som kom att kallas Magna Grecia – Storgrekland. Syrakusa anlades av emigranter från Korint och blev snabbt Siciliens största handels- och sjöfartsstad med täta kontakter med hela den grekiska världen. Det påstås att staden hade en befolkning på bortåt en miljon människor i sina glansdagar.

Här vimlar av lämningar efter det förgångnas storhet. Som stora svampar sticker de antika kolonnerna upp ur marken mitt i stadsbebyggelsen, och horder av turister vallfärdar till ruinen av den grekiska teatern släpande på sina kameraväskor.

Arkimedes föddes runt år 287 f Kr. Som rikemansson i det grekiska slavsamhället var han ekonomiskt oberoende och kunde helt ägna sig åt studier och forskning. Sin utbildning lär han fått i Alexandria, den hellenistiska tidens stora kulturcentrum. Han brevväxlade flitigt med Eratosthenes, den förste som beräknade jordens omkrets och sedermera chef för biblioteket i Alexandria.

Arkimedes forskning rörde dels ren matematik, men också tillämpad fysik och ingenjörskonst. Detta var ovanligt i den grekiska överklassen, där praktiskt arbete betraktades som ovärdigt den fria människan.

En av de praktiska uppfinningar som tillskrivs Arkimedes är apparaten som fortfarande kallas Arkimedes skruv. Den består av en roterande skruv inuti ett rör, och den används fortfarande i alla möjliga sammanhang – från köttkvarnar och hushållsassistenter till ånglok, apparater för automatisk svinutfordring och pelletseldning.

I en tobaksaffär bredvid domkyrkan – där den berömda silverstatyn av Sankta Lucia står inlåst i ett skåp – säljs en förskräcklig gipsstatyett föreställande Arkimedes med sin skruv. Affärsinnehavaren förklarar stolt att den är en kopia av ett konstverk som står på gården till stadens tekniska gymnasium.

Arkimedes tankegångar och arbeten låg i tidens absoluta frontlinje. Han sysselsatte sig framförallt med de stora problem som liksom en propp hindrade den antika matematikens vidare utveckling – att finna en infinitesimalkalkyl.

Sedan halvtannat århundrade hade Zenons berömda paradoxer satt myror i huvudet på antikens lärde. Zenon hade logiskt bevisat att all rörelse var omöjlig, och han hade också på ett stringent sätt visat att den snabbfotade Akilles aldrig kunde springa ikapp ens den långsammaste sköldpadda, om denna bara fått ett försprång i starten. Ty under den tid det tog för Akilles att springa till den punkt där sköldpaddan befann sig vid startögonblicket han ju sköldpaddan krypa ett stycke till. Och under tiden Akilles sprang till denna nya punkt hann sköldpaddan krypa ytterligare ett stycke, och så vidare. Även om avståndet mellan dem till sist blev oändligt litet skulle Akilles aldrig riktigt hinna ikapp sköldpaddan, hävdade Zenon.

Man visste naturligtvis att dessa slutsatser var uppåt väggarna, men vari låg det logiska felslutet?

Arkimedes inspirerades av Zenon, och visade hur man kan beräkna värdet på ett irrationellt tal – som pi eller roten ur två – med godtycklig noggrannhet genom att låsa in det mellan ett övre och ett undre värde. Genom att stänga in en cirkel mellan en omskriven och en inskriven månghörning kunde han beräkna cirkelns omkrets och finna att värdet på pi låg mellan 3 10/71 och 3 10/70. Detta motsvarar i decimalsystemet 3,14, fullt tillräckligt för de flesta tillämpningar än i dag.

Men Arkimedes största bravad är nog att han fann formlerna för klotets yta (4pi·r2) och volym (4/3·pir3) genom att ”väga” cirkelytor med sin egenupptäckta hävstångslag. Hans egen härledning för formlernas giltighet finner ni artikeln till vänster på detta uppslag. Matematikhistoriker har antagit att han använt en hemkokt variant av integralkalkyl för att finna formlerna, men att han sedan tagit till andra argument för att åstadkomma ett oantastligt bevis.

Så sent som år 1900 upptäcktes en dittills okänd uppsats av Arkimedes. Det visade sig att pergamentarken i en medeltida skolastisk handskrift hade återanvänts. Under de teologiska spetsfundigheterna fanns en text av Arkimedes med titeln ”Metoden”. Den handlar om exhaustionsmetoden, embryot till en generell integralkalkyl. Matematiken hade av de fromma munkarna getts betydligt lägre prioritet än medeltidens teologiska debatt. Och pergament var ju gudbevars både dyrt och svårt att få tag i.

Läs mer om detta i artikeln ”Boken som ständigt försvann” från NyT 2006.

Så beräknade Arkimedes klotets volym

Demokritos och Eudoxos hade visat att konens volym var 1/3 av den omskrivna cylinderns. Arkimedes snilledrag var att sätta sfären i relation till cylindern och konen, och därigenom få ett mått på dess yta och volym. I härledningen använde han sin hävstångslag.

I en cirkel med centrum O och radien r dras två vinkelräta diametrar AB och CD. Dra sedan linjen AC, och förläng till E där den skär AB:s normal i B. Dra också AD och förläng till F.

Nu är EB = BF = 2r.

eftersom vinklarna BAE och BAF är 45°. Fullborda sedan rektangeln EFGH.

Låt nu PQ vara en linje vinkelrät mot AB genom en godtycklig punkt X på AB. Den skär cirkeln i R och S, AE i T och AF i U. Kalla XT = x och XR = y.

Vi ser nu att även AX = x.

AXR är en rätvinklig triangel, och Pythagoras sats ger x2 + y2 = (AR)2. (1)

Vi ser att de rätvinkliga trianglarna XAR och BAR är likformiga, vilket ger

AR/x = 2r/AR,   (AR)2 = x·2r.   (2)

Tillsammans ger ekvationerna

x2 + y2 = x·2r.  (3)

Nu låter vi hela figuren rotera runt AB. Cirkeln genererar då en sfär med radien r, triangeln EAF ger en kon med en cirkelrund basyta med radien BE = 2r. EFGH ger en platt cylinder vars bas har radien BE = 2r och vars höjd är 2r.

Den roterande linjen PQ bildar ett plan som skär cylindern i en cirkel Cc med radien 2r, konen i en cirkel Ck med radien x och sfären i en cirkel Cs med radien y.

Om vi delar bägge leden av ekvation (3) med (2r)2 får vi

(x2 + y2)/(2r)2 = x/2r varefter vi förlänger vänstra ledets täljare och nämnare med pi:

(detta webbpubliceringsprogram klarar tyvärr inte av att skriva den grekiska bokstaven pi)

(pi·x2 + pi·y2)/pi·(2r)2 = x/2r    eller

(pi·x2 + pi·y2)·2r = pi·(2r)2·x. (4)

Om vi nu tittar på detta ser vi att det uttrycker ett förhållande mellan de tre nyss nämnda genererade cirkelytorna, nämligen att:

(Ck + Cs)·2r = Cc · x. (5)

Det är nu som Arkimedes använder sig av sin egenupptäckta hävstångslag. Vi kan nämligen tolka ekvation (5) som att summan av de två cirkelytorna Ck och Cs hängande i en hävarm med längden 2r balanserar cirkelytan Cc i hävarmen x.

Jämvikten gäller för alla lägen på linjen PQ mellan HG och EF. Om vi tänker oss cylindern, konen och sfären som summan av alla cirklar som kan bildas när x går från 0 till 2r har vi fått ett förhållande mellan kropparna. Eftersom cylinderns tyngdpunkt ligger i O (där x = r) kan vi skriva:

(Sfären + konen)/cylindern = 1/2.

Vi vet att konen är 1/3 av cylindern, vilket ger att konen EAF = 2·sfären.

Volymen av konen CAD med höjden r och basen med radien r är 1/8 av konen EAF, eftersom längdmåtten är delade med två. Detta innebär att:

Volymen av sfären är fyra gånger volymen av en kon vars bas är en storcirkel av sfären och vars höjd är sfärens radie. Men vi vet att konen är en tredjedel av en cylinder med samma höjd. Det innebär att volymen av en sfär är två tredjedelar av volymen av dess omskrivna cylinder, 2/3·2r·pir2 eller 4/3·pir3.

Sfären är också summan av en oändlig mängd små koner med höjden r och den sammanlagda basen lika med sfärens yta. Ytan blir då 4pi·r2.

Kaianders Sempler

Pyramidens och konens volym

I Arkimedes beräkning av klotets volym ovan förutsätts att man vet att konens volym är 1/3 av cylinderns. Detta visades av Demokritos med följande enkla resonemang: Ett prisma som i figuren delas upp i tre delar. Låt först ett av de övre hörnen, B1, vara spetsen i en pyramid med basen A1A2A3. Låt sedan ett av de undre hörnen, A3, vara spetsen i ytterligare en pyramid med basen B1B2B3.. Dessa två pyramider är uppenbarligen lika stora, eftersom de har samma höjd och samma basyta. Den del som nu är kvar, B1B2A2A3, är lika stor som den första pyramiden, eftersom hörnen A1 respektive B2 befinner sig på samma avstånd från den gemensamma sidoytan B1A2A3. Därav följer att de tre delarna har samma volym, 1/3 av prismats. Eftersom pyramider med andra former på basytan kan delas upp i tetraedrar gäller samma sak för dem. Även för konen gäller att dess volym är 1/3 av cylinderns.

Kaianders Sempler

Kaianders Sempler

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt

Läs mer