Bortom matematiken

Hur är det egentligen? Är matematiska teorem något vi upptäcker, ungefär som Columbus upptäckt av Amerika? Något som finns inbyggt i själva universum, och bara väntar på att uppdagas? Eller är matematiken i själva verket en skapelse av människan, och som i grund och botten inte har mer med naturen att göra än vilken äventyrsroman som helst? Kan världen förklaras, eller bara beskrivas? Låt oss göra det som det sägs att man aldrig ska - börja med de gamla grekerna.

Pythagoras.

På 500-talet före vår tideräknings början levde Pythagoras från Samos. Det var han som skapade den första talteorin och de första sammanhängande geometriska teoremen, de som Euklides senare kom att samla i boken "Elementa".Enligt Pythagoras var talen gudomliga och alltings innersta väsen. Ta bort alla yttre attribut, - som lukt, färg, storlek etcetera - och kvar blir bara talen.De naturliga (rationella) talen består av en oändlig mängd av positiva och negativa heltal - som 1, 2 och 3 - och fraktioner - som 1/4 och 0,3.Talen kunde vidare uppdelas i udda och jämna, vilket korresponderade till manligt och kvinnligt. Allt var frid och fröjd, och ordning härskade i matematiken. Till någon försökte räkna ut diagonalens längd i en kvadrat med sidan 1.Det visade sig att detta tal vägrade infoga sig i talsystemet. Det var varken udda eller jämnt. Det vi i dag kallar roten ur 2 är ett irrationellt tal, som inte kan uttryckas exakt som ett heltalsförhållande. Det var den första chocken för matematikerna, och det sägs att de irrationella talens existens länge hemlighölls av Pythagoréerna.

Gottfried Leibniz, 1646-1716..

Problemet löste sig så småningom, genom att de irrationella talen inkorporerades i talsystemet. De rationella och de irrationella talen bildar tillsammans de reella talen. Om vi ser de rationella talen som ett oändligt fint spjälstaket längs tallinjen, så fyller de irrationella talen ut springorna.Med hjälp av den kontinuerliga tallinjen kunde Leibniz och Newton på varsin kant utveckla integral- och differentialkalkylen.

Georg Cantor, 1845-1918.

Men filosoferna var inte helt nöjda, det var nåt lurt med det hela. Det fanns nämligen också en oändlig mängd "transcendentala" tal - tal som inte kunde beräknas, eller ens nämnas. Ryssen Georg Cantor upptäckte att det fanns olika stora oändligheter. Antalet heltal var visserligen oändligt, men antalet reella tal, punkter på en linje, visade sig vara oändligt mycket större. Cantor fann också till sin förvåning att det fanns lika många punkter på en kontinuerlig linje som på ett plan eller i en kropp. Mystiskt. Men det skulle nog lösa sig.

David Hilbert, 1862-1943.

David Hilbert föreslog vid 1900-talets början att man skulle städa upp hela matematiken så att alla teorem kunde härledas ur några grundläggande axiom. Detta arbete utfördes av filosofen Bertrand Russel i ett mastodontverk med titeln Principia Mathematica, som utkom 1910-1913.

Kurt Gödel, 1906-1970.

Men döm om hans förvåning när en ung tysk spoling vid namn Kurt Gödel 1931 hävdade att han hade fel i grunden. Matematiken gick inte att förklara entydigt. Det fanns, visade Gödel, i varje axiomatiskt system alltid teorem som inte gick att bevisa inom systemet.

Alan Turing, 1912-1954.

Saken blev inte bättre när datapionjären Alan Turing, känd för sina arbeten med att knäcka tyska koder under andra världskriget, kom med ytterligare bevis för matematikens ofullständighet. Turing formulerade det så kallade "stopproblemet": Kunde man på förhand avgöra om vissa dataprogram som kördes i en tänkt universaldatamaskin skulle stanna och spotta ut ett resultat? Eller skulle maskinen fortsätta att tugga i evighet? - Nej, det går inte att avgöra utifrån den information vi stoppade in i maskinen, sa Turing.

Gregory Chaitin, metamatematiker.

Metamaths, the quest for Omega, av Gregory Chaitin, Atlantic Books 2007. 220 sidor. Cirkapris 150 kronor.

Det är om sådant Gregory Chaitin skriver i sin nya bok "Metamaths". Chaitin använder binär datakod och visar (liksom den ryske matematikern Kolmogorov) att när en binär datasträng komprimeras så mycket det går, så går den inte att skilja från ett slumptal. Men det går inte, säger Chaitin, att inom det axiomatiska systemet veta om man lyckats komprimera maximalt. För detta behöver vi mer information. Låt oss singla slant om saken. Då får vi den bit som fattas.

Steven Wolfram, determinist.

Chaitin menar att liksom inom kvantfysiken styr slumpen även i matematikens värld. Detta betyder att universum aldrig går att förklara med den information som är tillgänglig för oss. Det kommer alltid att finnas saker vi aldrig kan veta.Där skiljer han sig från sin kollega Steven Wolfram, som i sin bok "A new kind of Science" hävdar att universums komplexitet bara är skenbar, och bygger på att operationer efter enkla regler upprepas. Enligt deterministen Wolfram KAN världen faktiskt förklaras.