Tre miniproblem: Var hamnar energin när värmen ökar?

2021-03-21 07:30  
Illustration: Ola Skogäng

Efter hårt arbete i grustag passar det bra med ett bastubad. Eller varför inte koppla av med en rebus? Tre miniproblem av fysikprofessor Göran Grimvall.

1. Teknikrebus

Lösningen till denna rebus är ett svenskt substantiv för en teknisk produkt som numera finns i många svenska bostäder. Liksom i korsord kanske man måste låta tankarna löpa lite fritt och inte tolka detaljerna alltför bokstavligt.

2. Kulturarv och bastuenergi

Ett världsarv kan vara till exempel byggnader, miljöer och naturområden. De tas upp på en lista utgiven av Unesco. I Sverige finns 15 världsarv, bland annat Engelsbergs bruk, Hansestaden Visby, Grimetons radiostation och hällristningsområdet i Tanum. Bland internationella världsarv märks Egyptens pyramider och Yellowstone nationalpark.

Det finns också så kallade immateriella kulturarv som bland annat omfattar sedvanor. I december 2020 uppförde Unesco den finländska bastukulturen på sin lista över immateriella kulturarv. ”

Bastukulturen i Finland är en integrerad del av majoriteten av den finska befolkningen. Den innehåller så mycket mer än bara en hygienisk aspekt. I en bastu renar man både kropp och själ och får en känsla av inre lugn”, skriver Unesco i ett uttalande.

Andra nya inval på listan är maträtten couscous, venetianska glaspärlor från ön Murano och urmakarkonsten i Frankrike och Schweiz. I Sverige, som 2011 undertecknade konventionen för tryggande av immateriellt kulturarv, har regeringen av rädsla för värdehierarkier avstått från att nominera svenska förslag till immateriella kulturarv till Unescos internationella lista. Tänkbara kandidater vore annars smörgåsbord och luciatåg.

Nu åter till bastun. För att värma den måste man tillföra energi. Var hamnar denna energi? Det är kanske naturligt att tro att den finns i den varma bastuluften. Men det förvånande svaret är att energin i luften inne i bastun är ungefär samma både när bastun är kall och när den är varm.

I stället hamnar den tillförda energin i bastuns väggar och i luften utanför bastun. Kan läsaren förklara det? Den enkla lösningen bygger på allmänna gaslagen pV = NkT som ger ett samband mellan trycket p i en gasmassa med volymen V, antalet molekyler N i gasen, Boltzmanns konstant k och den termodynamiska temperaturen T (uttryckt i kelvin).

3. Tömning av grustag

Det här miniproblemet handlar om att tömma en ändlig resurs – nämligen ett givet grustag. Anta att vi startar uttaget år 2021. Till en början är det mycket litet. År 2021 har bara 0,1 procent tagits ut. Med fortsatt samma uttag skulle det räcka i 1 000 år. Men vi antar att uttaget ökar stadigt med 7 procent årligen.

Enligt den mycket användbara 72-regeln (mer om det i lösningen) innebär det en fördubbling av årliga uttaget på cirka tio år. Följande tabell visar hur många procent av grustaget som återstår under det närmaste 30 åren vid 7 procents årlig ökningstakt.

2021 99,9  

2030 98,6   

2040 95,9 

2050 90,6 

Det verkar vara ett betryggande långsamt uttag. När är hela grustaget tömt?  

 

Lösningar

1. Teknikrebus

Svaret är ”jordfelsbrytare”. Först kommer symbolen för jordanslutning (”jord”) i en elektrisk krets. 2 + 2 = 5 är ”fel”. Frekvensenheten hertz anger antal per sekund; 1/Hz = 1/hertz = ”s” (sekund).

Den sista symbolen avser enligt den internationella standarden IEC (International Electrotecnical Commission) 60417-5009 ett standby-tillstånd, det vill säga ett viloläge. Den kopplar inte bort enheten helt från strömförsörjningen, men kallas ofta populärt för strömbrytare eller, som i vår rebus, ”brytare”.

En lodrät linje är enligt IEC 60417-5007 en startsymbol eller en strömbrytare som innebär att utrustningen placeras i ett fullt strömförande läge.

En cirkel är enligt IEC 60417-5008 symbolen för avstängning, det vill säga strömmen kopplas helt bort från enheten. Symbolen i rebusen kan alltså delvis betraktas som en kombination av symbolerna 5007 och 5008.

2. Kulturarv och bastuenergi

Lösningen kan kort formuleras med att antalet gasmolekyler N minskar i samma takt som temperaturen T ökar. Trycket p är överallt inne i bastun samma som i luften utanför. (Mer härom nedan.) Låt bastuns hela volym vara V. Då blir pV = NkT konstant, oavsett temperaturen T. För ett fullständigt argument måste man veta att rörelseenergin (translation och rotation) för varje gasmolekyl är proportionell mot T.  

Totala energin i luften är då proportionell mot NT. Men nu varierar temperaturen i bastun, med lägst T nära golvet. Då kan vi tänka oss volymen i bastun uppdelad i delar med en viss fix volym. I varje sådan del är pV, och därmed NT, konstant. 

Gastrycket är samma i alla delar av bastun, annars skulle det ”blåsa” därinne. Ingen bastu är helt tät, och lufttrycket på båda sidor om bastudörren är lika. När bastun värms upp kommer därför gasmolekyler att ”läcka ut” till omgivningen. Om man kastar bad, det vill säga häller vatten på bastuaggregatets stenar, bildas snabbt gasen vattenånga.  

Det ökar gastrycket inne i bastun. I en liten villabastu flyger genast bastudörren upp något, så att tryckutjämning kan ske. Boverkets byggregler säger att en bastu ska utformas så att den snabbt kan utrymmas. Dörren ska vara utåtgående eller av pendeltyp. Dörren får inte ha lås och dörrbladet ska inte kunna fastna i karmen till följd av värmeutvidgning eller påverkan av fukt.  

Om dessa krav hade varit uppfyllda på 1970-talet skulle en tragisk dödsolycka på Chalmers ha undvikits. Vid lunchtid gick en tekniker in för att basta. Dörren gick i baklås och personen hittades efter flera timmar död. 

Att totala rörelseenergin för de tvåatomiga syremolekylerna och kvävemolekylerna är approximativt 5kT/2 följer av det så kallade ekvipartitionsteoremet. Detta är inte samma energi som för de enatomiga ädelgaserna eller fleratomiga molekyler som koldioxid, men de bidrar endast obetydligt till luftens energi. 

3. Tömning av ett grustag

Det för många förvånande svaret är att fastän bara cirka 9 procent tagits ut under de första 30 åren är hela grustaget tömt efter drygt ytterligare lika lång tid (år 2083). Följande tabell visar återstoden i procent för åren 2060–2080.

Med god approximation är det totala uttaget under en viss tid lika med uttaget under nästkommande fördubblingstid på cirka tio år. Till exempel har enligt tabellen 20 procent tagits ut år 2060 och 40,7 procent år 2070. (Efter ”lång” tid gäller regeln exakt. Vi avstår här från att visa det.)

Det betyder att om det är halvtömt vid en viss tidpunkt så är det helt tömt efter nästföljande fördubblingstid, i vårt fall cirka tio år. Om man sedan vill fortsätta att ta ut grus i samma ökningstakt måste man inför kommande decennium hitta ett lika stort grustag som det ursprungliga, och även det räcker då bara tio år.

Exemplet visar att den skenbart långsamma tillväxten under den första tiden av ett exponentiellt förlopp snart förbyts i en katastrofal ökning.

Så till 72-regeln. Den säger att om något ökar med p procent per år så sker en fördubbling efter ca 72/p år. I gränsen med mycket litet p är resultatet 100ln(2)/p = 69,31…/p. (Det är inte svårt att bevisa matematiskt.)

Att den praktiska regeln utnyttjar just talet 72 och inte 69 eller 70 beror på att 72 har många heltalsfaktorer och att det därför ofta är lätt att i huvudet beräkna 72/p. Tabellen visar fördubblingstiden i antal år vid p procent årlig förändring, dels enligt 72-regeln och dels med en mer noggrann beräkning.

Vi ser att regeln till en början något överskattar och därefter något underskattar fördubblingstiden, men den är anmärkningsvärt noggrann för ”normala” ökningstakter. Notera att vi här och i beräkningarna ovan har antagit att ökningen avser slutet av varje år och inte kontinuerligt. Med tanke på att 72-regeln i sig är en approximation är skillnaden mellan dessa båda sätt att räkna inte väsentlig.

Om du vill imponera på din omgivning så kan du snabbt fälla följande kommentar när någon till exempel säger att ökningstakten är 8 procent per år. ”Det betyder alltså en fördubbling på 9 år.” Att du bara gjorde huvudräkningen 72/8 = 9 behöver du ju inte avslöja. Regeln gäller lika bra vid minskning med p procent per år. Då halveras värdet efter ca 72/p år.

Göran Grimvall

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt