Tre miniproblem: Klockan klämtar för hunden i grottan

2020-10-25 08:00  

Får hela världen plats på Gotland, om vi samtidigt ska hålla avstånd till varandra? Varför dog hunden i grottan, men inte människorna? Och varför gick pendeluret efter i Franska Guyana? Tre miniproblem signerade fysikprofessor Göran Grimvall.

1. Coronaavstånd – två frågor

I dessa tider uppmanas vi alla att hålla avstånd till andra, ofta 2 meter. Skulle hela jordens befolkning kunna rymmas på Gotland med detta villkor?

Här är ytterligare ett problem kring coronapandemin. I ett rektangulärt rum med måtten 4 m och 3,5 m skulle faktiskt sju personer samtidigt kunna befinna sig och ändå uppfylla kravet på 2 meters avstånd. Hur ska de då stå?

2. Varför kan hunden dö?

De sista årtiondena av 1800-talet var en guldålder när det gäller populärvetenskapliga böcker inom bland annat fysik och teknik. Många av dem gavs ut i Frankrike och blev snabbt översatta till svenska. År 1882 kom Vetenskapliga tidsfördrif av Gaston Tissandier.

I tidskriften La Nature hade pseudonymen Tom Tit en stående spalt med enkla experiment som illustrerade någon fysikalisk princip. De samlades i boken La Science Amusant, gavs ut på svenska under titeln Tom Tits experiment – Vetenskapliga förströelser och återtrycktes i faksimil av Ingenjörsförlaget år 1984. Det är just denne Tom Tit som är bakgrunden till namnet på ett berömt science center i Södertälje.

En annan populärvetenskaplig bok med franskt ursprung är La clef de la science (1889) av Henri de Parville, med flera, i svensk översättning redan året efter av Thore Kahlmeter under titeln Hvarför? och Huru? – Nyckel till naturvetenskaperna. Den innehåller inte mindre än 1 315 frågor och svar, bland vilka vi finner följande:

”Främlingar, som besöka Neapel, böra ej försumma att göra en tur till den vid staden liggande s.k. hundgrottan. Vid ingåendet i grottan medtager föraren ett hundkreatur, som genom sina lifliga protester tydligen lägger i dagen sin motvilja för att inträda i grottan. Efter en kort vandring faller hunden omkull till utseendet liflös och skulle ofelbart dö om ej föraren skyndsamt lyftade upp honom, och bar honom ut i friska luften. Den resande själf erfar intet obehag av vistelsen i grottan.”

Kan läsaren ge en förklaring?

3. Jordens form

Fram till slutet av 1600-talet ansågs jordklotet var sfäriskt, men en observation av den franske astronomen Jean Richer tycktes visa att det inte riktigt stämde. Han sändes åren 1671–1673 av den franska Vetenskapsakademien till Cayenne i Franska Guyana i Sydamerika, beläget cirka fem grader norr om ekvatorn.

Avsikten var främst att mäta planeten Mars parallax, det vill säga vinkelskillnaden mellan en himlakropps position observerad från två olika platser. På detta sätt kunde man beräkna avståndet till Mars.

Men Richer noterade också under denna expedition att hans pendelur, som visade rätt tid i Paris, avvek med två minuter och tjugofem sekunder per dygn i Cayenne. Det kunde han konstatera eftersom längden av ett dygn (tiden mellan två på varandra följande tillfällen då solen står som högst på himlen) skulle vara exakt 24 timmar.

Gick hans pendelur för fort eller drog det sig efter i Cayenne?

(Lösningar längre ner i artikeln)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Lösningar

1. Coronaavstånd

Jordens befolkning skulle inte få plats på Gotland med 2 m inbördes avstånd. Låt varje person stå i mitten av en cirkelskiva med radien 1 m. Två sådana skivor får aldrig överlappa varandra. Skivans area är 3,14 m2 och jorden har ca 8 miljarder invånare.

Totala arean av skivorna blir då ca 25 miljarder kvadratmeter = 250 kvadratmil. Det motsvarar arean av ett rektangulärt stycke land mad kantlängderna 25 mil och 10 mil, vilket är klart större än Gotland. Dessutom krävs mer land än summan av cirkelskivornas area, eftersom en yta inte helt kan täckas av cirkelskivor. Gotlands area är 3 184 km2, vilket är 3,184 miljarder m2 eller 0,4 m2 per person på jorden. Bara om alla står klämda intill varandra så tätt det går skulle jordens befolkning få plats på Gotland.

I det andra problemet är svaret ja; det går att få in sju personer i rummet. Börja med att betrakta tre personer. De kan stå i hörnen av en liksidig triangel med sidan 2 m. Med sex sådana trianglar kan man bilda en hexagon, där sex personer står i hexagonens hörn och en i dess mitt. Hexagonens vinkelräta yttermått är 4 m och två gånger roten ur tre m = 3,46 m.

Den passar alltså in i rummet med måtten 4 m och 3,5 m, och kräver således mindre än 2 m2 golvarea per person. Att det är mindre än den tidigare nämnda cirkelarean beror naturligtvis på att väggen hindrar någon att stå nära från väggens andra håll.

Vår lösning förutsätter dessutom att personerna är oändligt smala. Med liksidiga trianglar eller hexagoner kan man helt fylla en stor yta utan mellanliggande tomrum. Då blir den erforderliga arean ca 3,46 m2 per person vid coronaavstånd, och ett plant Gotland skulle inte ens rymma 1 miljard personer.

2. Varför kan hunden dö?

Så här står det i boken:

”Genom sprickor i marken framtränger kolsyra, som bildats genom någon förbränningsprocess i jordskorpan (möjligen ock genom kemisk sönderdelning av något karbonat). Till följd av sin tyngd och ringa diffusionsförmåga utbreder sig den giftiga gasen såsom ett 2 à 3 decimeter högt lager öfver grottans golf. Menniskorna, som nå högt öfver detta lager, lida ej något men af den giftiga gasen, men hundar, som måste inandas den förpestade luften, qväfvas.”

Grottan är ingen stor underjordisk grotta utan mer en spricka i berget, cirka 9 m lång, och som sluttar inåt. I den inre fördjupningen tränger koldioxid av vulkaniskt ursprung upp (jämför närheten till vulkanen Vesuvius).

I frånvaro av konvektion samlas den tyngre koldioxiden i grottans något djupare inre del. Det är inte gasens ”ringa diffusionsförmåga” som är viktig i hundgrottan, utan frånvaro av tillräcklig konvektion. Om många personer rör sig samtidigt i grottan skulle effekten minska. Grottan var en stor attraktion under 1700- och 1800-talet och besöktes bland annat av Mozart, Goethe och Mark Twain. Den stängdes cirka 1870.

Gasen i hundgrottan ska inte förväxlas med gruvgas (metan), som kan sippra ut i gruvgångar och antändas. Metan är lättare än luft och ansamlas därför inte vid gruvgångens golv. (Relativa molekylmassan, tidigare kallat molekylvikten, är för metan 16, kväve 28, syre 32 och koldioxid 44.)

Kanariefåglar är känsligare än människan för förekomsten av gruvgas och användes allmänt långt in på 1900-talet för att varna för gruvgas. I sammanhanget kan vi påminna oss om säkerhetslampan, konstruerad av Humphry Davy i början av 1800-talet, som hindrade att eventuellt förekommande metangas antändes.

Lågan är omgiven av ett finmaskigt metallnät som släpper in syre men som gör att en explosionsflamma inte lämnar lampan.

3. Jordens form

Pendeluret gick för långsamt. En pendels frekvens beror av pendellängden L och tyngdaccelerationen g, som roten ur g/L. Tyngdaccelerationen beror på avståndet till jordens centrum. Genom en centrifugaleffekt får den roterande jorden formen av en något tillplattad boll. Avståndet till jordens centrum ökar därför ju närmare ekvatorn man kommer, och tyngdkraften minskar.

Detta, tillsammans med en centrifugaleffekt på själva pendeln orsakad av jordrotationen, gör att i Cayenne är g = 9,78 m/s2 (oklart på vilken höjd över havet observationen med pendeluret gjordes) medan g = 9,809 m/s2 i Paris. Vi kan notera att skolbokens välkända värde 9,81 m/s2 avser orter i Mellaneuropa. I Stockholm är mätetalet 9,818 och i Luleå 9,823.

Det var Newtons (1642–1727) teori om gravitationen som gav en förklaring till jordens tillplattade form, men saken var en tid omstridd bland franska astronomer. Jacques Cassini hade nämligen på 1720-talet (felaktigt) fått fram att längden av en meridiangrad var kortare norr om Paris än söder om staden, och inte längre som den borde ha varit om jorden var tillplattad vid polerna.

För att slutgiltigt klarlägga jordens form lät franska Vetenskapsakademien genomföra gradmätningar på breddgrader långt från varandra. Anders Celsius deltog 1736 i en resa till Lappland tillsammans med några franska vetenskapsmän. Avsikten var att göra en gradmätning nära polcirkeln, medan en annan expedition gjorde mätningar nära ekvatorn, Åren 1816–1855 gjordes nya gradmätningar. En kedja med 258 trianglar, definierad av 265 mätpunkter som markerats med borrhål, järnkors, etcetera, sträckte sig från Svarta havet till Hammerfest. År 2005 utsåg Unesco kedjan och 34 av dess mätpunkter till världsarv. Fyra av punkterna ligger i Kiruna, Pajala, Övertorneå respektive Haparanda.

Göran Grimvall

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt