Tack för isvägarna – men se upp för isberg 

2021-02-06 07:00  
Illustration: Ola Skogäng

MINIPROBLEM. Titanics förlisning, motion i motlut och vikten av istjocklek. Tre miniproblem signerade fysikprofessor Göran Grimvall. 

1. Varför sjönk Titanic? 

Titanic sjönk i april 1912 efter att ha kolliderat med ett isberg. En dokumentär visad i SVT hösten 2020 tog upp tio faktorer som kan ha inverkat på förloppet. Mycket som sägs är spekulationer vilkas betydelse är svår att bedöma. Bland annat noterades i inslaget följande. 

Radiotelegrafisten var upptagen med att sända telegram till land, från passagerare ombord. Det gjorde att man missade meddelanden om isberg från andra fartyg i området. Utkiken saknade kikare eftersom den var inlåst, och han som hade nyckeln var inte åtkomlig. Nitarna i skrovet i områden med välvda ytor måste slås i för hand i stället för med stora och tunga nithammare. Vanligen var nitarna av stål, men de som slogs i för hand var mjukare, innehöll slagg och blev spröda vid kyla. Detta kan ha förvärrat skadan i fartygets för.  

Titanic hade 16 vattentäta avdelningar. En av dem gränsade till en kolbox, där det tidigare hade utbrutit eld. Det var inget ovanligt med eld i ångfartygens kolboxar. Hettan från elden kan ha påverkat hållfastheten i denna avdelning. Enligt tv-programmet hölls vattnet tillbaka bara genom en klen dörr, som gav vika när avdelningen fyllts med 440 ton vatten till ett djup av ungefär 3 meter. Trycket på dörren uppges då vara 3 ton, vilket fick dörren att brista.  

Kan dessa uppgifter om vattendjup, tryck och total vattenmängd vara riktiga, bortsett från att kraften anges i massenheten ton och inte i en kraftenhet? 

2. Motvind 

I dessa covid-tider har kanske några läsare skaffat ett hemmagym. En motionscykel kan ställas in med olika motstånd för att simulera att man kör i en uppförsbacke. Luftmotståndet, som är avsevärt för tävlingscyklister, får man inte med en motionscykel. Även det kan dock simuleras på samma sätt som en uppförsbacke. Vinddraget har emellertid en annan viktig effekt – att kyla genom att förbättra avdunstningen av svett.  

En tävlingscyklist utvecklar flera hundra watt ”nyttig effekt” för att driva cykeln framåt. Men kroppen betraktad som en energiomvandlande maskin har bara ungefär 25 procent verkningsgrad. Mer än 1 kilowatt måste alltså kylas bort. En fläkt placerad framför cyklisten kan ge då samma resultat som vinddraget. Den ger också en kraft på cyklisten men det kräver inget arbete av denne eftersom arbete är ”kraft gånger tillryggalagd väg” och cyklistens position relativt fläkten och golvet är oförändrad. 

Jämför nu med att man springer på ett löpband. Genom att luta bandet får man samma resultat som att springa in en uppförsbacke. Det var temat i tidigare miniproblem och en motivering ges i lösningen här på sidan. I den här veckans miniproblem placerar vi i stället en fläkt framför löparen. Liksom i fallet med motionscykeln kan luftdraget vara avkylande, men vi fokuserar på ett eventuellt luftmotstånd.  

Kommer fläkten att ge ett ”luftmotstånd” som måste övervinnas av på löparen på bandet? 

3. Isvägar 

Under den stränga vintern 1941/42 då tyska trupper belägrade Leningrad kunde förnödenheter nå staden på isvägar över sjön Ladoga. Över en halv miljon civila samt många skadade soldater fördes också ut under denna tid.  

Isvägar för fordonstrafik förekommer sedan länge i många länder med kalla vintrar, till exempel i Kanada, Finland, Estland, Ryssland och Sverige. Hos oss ordnas de av Trafikverket eller kommunerna. Välkända isvägar finns på Storsjön i Jämtland, där de under senvintern ersätter färjetrafik. I Luleå kommun finns normalt isvägar till flera skärgårdsöar.  

För trafiken gäller särskilda regler om minsta fordonsavstånd (50 m), högsta tillåtna fart (30 km/h), omkörningsförbud och förbud att stanna eller parkera. Isvägar kan ha en eller två körbanor (en för trafik i vardera riktningen). Om endast en körbana anordnas ska den för att medge möte mellan fordon vara minst 50 m bred. Om två körbanor anordnas ska körbanan vara så bred att spårkörning kan undvikas och inte vara smalare än 10 m. 

På Trafikverkets hemsida finns uppgifter om den minsta tjocklek för kärnis på sötvatten som krävs för en given högsta bruttovikt på fordonen. Där anges bland annat följande data: 

2,0 t 20 cm 

12,0 t 50 cm 

25,0 t  ?? cm 

I miniproblemet undrar vi vilken minsta istjocklek som krävs för fordonsvikten 25 ton. Det finns många matematiska funktioner som går genom de två första punkterna i tabellen, (20 cm, 2,0 t) och (50 cm, 12,0 t). Vad är ett sunt ingenjörsmässigt sätt att angripa problemet om man bara har tillgång till data ovan? Vad skulle samma resonemang ge för en skridskoåkare? 

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

 

Lösningar 

1. Varför sjönk Titanic? 

Trycket beror på djupet under den fria vattenytan. På 1 meters djup svarar trycket per kvadratmeter mot tyngden av 1 kubikmeter vatten, som har massan 1 ton. Trycket mot väggen i den vattenfyllda avdelningen ökar alltså linjärt från 0 vid vattenytan till 3 ”ton” vid golvet.  

Låt oss för enkelhets skull anta att dörren är 2 m hög och börjar vid golvet. Medeltrycket per kvadratmeter dörr blir då 2 ”ton”. För att få det uppgivna totala trycket 3 ”ton” måste dörren ha arean 1,5 kvadratmeter och således bredden 0,75 meter. Det är mycket rimligt. I detta avseende är det således inget fel i tv-programmet, även om spekulationerna i övrigt kring inverkan av branden i kolboxen kan ifrågasättas.  

Totala mängden vatten, 440 ton, kräver golvarean 440/3 kvadratmeter vd 3 meters vattendjup, vilket även det är rimligt. Men mängden vatten är irrelevant för trycket mot dörren – endast vattendjupet har betydelse. I detta sammanhang kan vi tänka på legenden om den holländske pojken som upptäckte ett litet hål i en vall mot havet. Genom att sätta ett finger i hålet lyckades han ”hålla emot allt vatten i Atlanten”. Det behövs inga övernaturliga krafter för detta. Om hålets area är 1,5 kvadratcentimeter och vattendjupet är drygt tre meter räcker det att hålla emot med kraften 0,5 ”kilogram”.  

2. Motvind 

Ja, fläkten ger ett motstånd att övervinna. En bra problemlösningsmetod kan vara att betrakta ett förenklat och idealiserat fall. Låt det horisontella löpbandet gå med konstant fart. På bandet står en leksaksbil vars front har en vertikal skiva som träffas av vinden från fläkten. Om hjulen på leksaksbilen är frikopplade kommer vinden att driva bilen bakåt. För att det inte skall ske måste hjulen drivas runt av en motor så att bilen står kvar på samma plats relativt golvet.  

Det är uppenbart att bilen måste utveckla en viss effekt när fläkten är igång. Ersätt nu leksaksbilen med en människa som springer på löpbandet. Även löpningen blir tyngre när vinddraget försöker pressa kroppen bakåt. Jämförelsen mellan bil och löpare har vissa brister eftersom löparen inte uppvisar en stel front mot vinden och rör på armar och ben, men som ett resonemang som ger den väsentliga effekten kan det duga. 

Ett liknande argument visar att ett lutande löpband har samma effekt som att springa i en uppförsbacke. Det kan först verkar förbryllande eftersom man kanske menar att den som springer på löpbandet inte ändrar läget i höjdled på kroppens tyngdpunkt, i motsats till den som springer i en verklig uppförsbacke.  

Ställ en bil på ett jättelikt rörligt band. Bilmotorn går så fort att bilen hela tiden är på samma plats i förhållande till omgivningen. Om bandet inte lutade, och om vi bortser från alla bromsande effekter, skulle det inte krävas någon energi från motorn för att ge hjulen ett vridmoment som håller bilen på samma plats. Det är samma argument som att det i frånvaro av bromsande förluster inte krävs någon energitillförsel för att bilen ska hålla konstant fart på vägen. Med lutande band krävs dock ett vridmoment på hjulen för att bilen inte ska rulla bakåt på bandet. 

En annan bra problemlösningsmetod är att gå till extremfall. Anta att fläkten blåser ”nästan oändligt starkt” och att bandet går så långsamt att du kan hålla promenadtakt och ändå vara kvar på ungefär samma ställe i förhållande till golvet. Intuitivt är det väl uppenbart att det är omöjligt i den starka motvinden. 

De två problemlösningsmetoderna, att starkt förenkla situationen eller att betrakta extremfall, kan öppna för ifrågasättanden i detaljer, eller kanske till och med allvarliga invändningar. Ibland täcker inte lösningarna till miniproblemen alla situationer. Så var faller i Ny teknik 2020-10-25 i frågan om det gick att placera sju personer i ett rum med givna mått och under iakttagande av ”corona-avstånd”. Flera läsare hörde av sig och noterade att med trådsmala personer går det att få in åtta i rummet. Sådana läsarkommentarer är alltid välkomna via mejl, och alla får svar. 

3. Isvägar 

Det enklaste när man inte har mer information är att anta en potenslag. I ett log-log-diagram blir en potenslag en rät linje vars lutning ger den aktuella potensen. I vårt fall verkar en kvadratisk ökning av isens bärighet som funktion av dess tjocklek passa bra. Vi har nämligen för tjockleken (50/20)2 = 6,25 att jämföra med kvoten 12,0/2,0 = 6,0 för massan.  

För fordonsvikten 25,0 t skulle med kvadratlagen fordras tjockleken ”50 cm gånger roten ur 25/12”, det vill säga cirka 72 cm, i god överensstämmelse med värdet 80 cm i tabellen på Trafikverkets hemsida. (Den fullständiga tabellen ger en aningen långsammare ökning av bärigheten än kvadratiskt i isens tjocklek.)    

Tillämpa nu samma relation på en skridskoåkare. Låt dennes massa vara 80 kg. Då ger kvadratlagen att isens tjocklek bör vara minst roten ur 80/2000 = roten ur 0,04 = 0,2 gånger 20 cm, det vill säga 4 cm. Det stämmer med gränsen ”knappt åkbar” på hemsidor för långfärdsskridskoåkare.  

Göran Grimvall

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt