Miniproblem: Går det att skriva ut regnbågen?

2021-06-25 08:00  
Illustration Ola Skogäng

Fysikprofessor Göran Grimvall bjuder på tre miniproblem: om ökat behov av litiumjonbatterier, om olika färgsystem – och vad är centrum i en drickaburk?

1. Litiumjonbatterier

Det här miniproblemet handlar om att göra rimlighetsbedömningar. För att ange tiopotenser finns välkända beteckningar, till exempel. M (mega), G (giga), T (tera), P (peta) och E (exa) för ökning med en faktor 1 000 i varje steg. 

I prognoser över det snabbt växande behovet av litiumjonbatterier i världen finner man en uppgift att det årliga tillskottet år 2030 uppskattas till ca 2 000 XWh för fordonsdrift och ca 100 XWh för mobiltelefoner och liknade elektronik. Vilken av beteckningarna M, G, T, P, E står här bokstaven X för?

2. Regnbågens färger

I regnbågen delas genom brytning och reflektion det ”vita” ljuset från solen upp i de välkända sju färgerna rött, orange, gult, grönt, blått, indigo och violett. Många erinrar sig denna serie genom minnesramsan ROGGBIV. Just sju färger är naturligtvis bara en konventionell uppdelning. I verkligheten är det en kontinuerlig följd av färger. 

En regnbåge kan i princip förekomma i Sverige under alla årets dagar, med två undantag. Norr om Polcirkeln kommer solen en viss tid inte över horisonten. Mindre känt att regnbågen på midsommarafton skulle kunna observeras morgon och kväll men aldrig mitt på dagen. Centrum för en tänkt cirkulär regnbåge ligger på en rät linje från solen genom betraktarens huvud. Ju högre solen står på himlen, desto lägre ligger regnbågens övre kant. Vid midsommar kommer solen så högt att bågen hamnar under horisonten.

En färgbild skall kunna återge ”alla regnbågens färger” men i en färg-teve räcker det med tre färger. I lämplig blandning kan de skapa intryck av att alla färger är möjliga. Man talar om RGB-format (rött, grönt, blått). Men när vi köper toner till vår färgprinter är det fråga om andra färger; cyan, magenta, gult plus svart, kallat CMYK som står för cyan, magenta, yellow, key (svart). Även i det fallet kan ”alla regnbågens färger” återges med tre grundfärger, med tillägg av svart för tydlighets skull.  

I miniproblemet frågar vi oss varför det inte är samma serier av färger i teven och i printern.

3. Drickaburkar

I ett populärt experiment på temat densitet har man två läskburkar av aluminium. Den ena innehåller den normala drycken och den andra en ”light” version med mindre socker. Den senare flyter i en hink fylld med vatten, medan den förstnämnda sjunker till bottnen. Skillnaden beror naturligtvis på att sockret ökar vätskans densitet.

En burk med alkoholfritt öl flyter nätt och jämnt. Hur är den då orienterad – vertikalt eller horisontellt? Det är det första, och lätta, miniproblemet.

Problem nummer två utgår från en tom burk som står på ett bord. Dess masscentrum (tyngdpunkt) ligger på ungefär halva burkhöjden över bordet. Nu häller man lite vatten i den tomma burken. Då sänks läget av masscentrum för burk plus vätska. Men när burken är helt fylld ligger masscentrum åter på ungefär halva burkhöjden över bordet. 

För en fyllnadsgrad däremellan hamnar masscentrum på sin lägsta höjd över bordet. Man kan räkna ut hur mycket vätska som då finns i burken, när man vet burkens massa (ca 10 gram) och att en full burk innehåller ca 33 cl vätska. Svaret ges i lösningen, men nu skall vi ställa ett miniproblem som inte kräver någon uträkning utan bara ett kvalitativt resonemang.

När gemensamma masscentrum för burk plus vätska ligger lägst, är det då precis i nivå med vätskeytan eller ligger gemensamma masscentrum över eller under vätskeytan?

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Lösningar

1. Litiumjonbatterier

Svaret är X = G. Se först på mobiltelefoner. Anta att jordens ca 8 miljarder invånare alla skaffar en ny mobiltelefon år 2030. Om X = G så motsvarar det ett prognosticerat årsbehov av nya batterier med en total lagringskapacitet på 100 GWh = 100 000 000 000 Wh. Det skulle ge cirka 10 Wh per antagen ny mobil (eller motsvarande) och svarar ungefär mot energin i ett mobiltelefonbatteri. 

Nu köper inte alla en ny mobil varje år men prognosen gäller även laptop med mera. Med X = T får vi cirka 10 kWh per mobil enhet och med X = M får vi 0,01Wh. Båda dessa alternativ är orimliga.

Sedan betraktar vi behovet för fordonsdrift. Med X = G blir prognosticerade årsbehovet 2 000 000 000 kWh. Ett vanligt blybatteri för bil (märkt t.ex. 12 V och 60 Ah) innehåller fulladdat 720 VAh = 720 Wh eller knappt 1 kWh. 

Låt oss för enkelhets skull anta att en bil driven med blybatterier skulle kräva 20 standardbatterier och att samma energimängd krävs med litiumjonbatterier. Prognosen för litiumjonbatterier skulle med X = G räcka till nästan 100 miljoner nya bilar år 2030. Det är inte orimligt. Med X = M skulle det bara räcka till 100 000 bilar och om X = T skulle det räcka till mer än en ny bil per invånare på jorden.

Ett helt annat sätt att göra uppskattningen är att utgå från att 1 kWh elektrisk energi kostar cirka 1 krona. Om X = T ger prognosen att fulladdade nya batterier för mobiler och liknande innehåller energi till ett värde av cirka 10 kronor per invånare på jorden. En tusendel av detta belopp (det vill säga X = G) är mycket rimligare.

Vi noterar att kWh (kilowattimme) är en vanlig energienhet, men att en miljon kilowattimmar inte får skrivas 1 MkWh utan måste skrivas 1 GWh. Vidare används SI-prefixen M, G och så vidare även i samband med valutabeteckningar, t.ex. 1 MSEK för en l miljon svenska kronor. Många ekonomer envisas dock med att skriva 1 mkr, vilket bara blir 0,1 öre.

Och, till slut, enheten sekund får aldrig förkortas sek. Antingen skriver man ut ordet sekund (second på engelska) eller så använder man beteckningen s.

2. Regnbågens färger

Skillnaden mellan de två fallen är att i en tv-apparat sänds det aktivt ut ljus från skärmen. En bild från en färgprinter betraktas i vitt ljus från omgivningen. I det första fallet talar man om additiv färgblandning. Grönt plus rött ger till exempel gult. I det andra fallet beror färgintrycket på absorption av delar av det reflekterade vita ljusets färgspektrum. 

Detta kallas subtraktiv färgblandning. Till exempel ger en blandning av gul färg (som absorberar blått) och magenta (som absorberar grönt) en röd färg. Grönt erhålls genom blandning av cyan och gult. Blå färg får man genom cyan och magenta. 

En blandning av lika delar av de tre primärfärgerna cyan, magenta och gult skulle teoretiskt ge svart, men i praktiken blir det mörkgrått. För att få god svärta och skärpa i text så används svart färg vid tryck. Med tillgång till svart går det dessutom åt mindre toner för att återge mörka ytor. Därmed användes mindre av de tre andra färgerna, vilket avsevärt minskar tonerkostnaderna.

När vi ser färgbilden på vår datorskärm är det fråga om additiv färgblandning, för ljuset kommer från skärmen och inte från omgivningen. Skärmen syns ju även i mörker. Det krävs sedan ett datorprogram för att omvandla från RBG-systemet till CMYK-systemet när bildinformationen överförs från dator till printer.

En slutkommentar. Frågan om färger är komplicerad, både när det gäller att tekniskt återge dem och hur hjärnan tolkar synintrycket.

3. Drickaburkar

Burken flyter vertikalt orienterad. Om vi kunde bortse från själva burken, och om dess innehåll har samma densitet som vattnet (en bra approximation för ölet), spelar det ingen roll hur den är orienterad. Men med vertikal orientering hamnar masscentrum för aluminiumburken lägre.

Svaret i problem nummer två är att gemensamma masscentrum ligger i nivå med vätskeytan. Resonera så här: Utgå från tom burk. Då ligger masscentrum på halva burkhöjden. Häll i lite vatten. Läget av gemensamma masscentrum för burk plus vätska sjunker (närmar sig bordet), men det ligger fortfarande ganska högt. Så länge det ligger över vattenytan sjunker gemensamma masscentrums läge när ytterligare vätska hälls i. 

Lägena för masscentrum och vattenytan närmar sig varandra med ökande fyllnadsgrad och till slut sammanfaller de. Häller vi därefter i ytterligare vätska höjs gemensamma masscentrums läge över bordet, det vill säga att vi har passerat fallet där gemensamma masscentrum ligger lägst.

Det är anmärkningsvärt, och kanske förvånande, att detta resonemang gäller för alla former på kärlet, till exempel en kaffekanna med pip.

Göran Grimvall

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt