Hur stor effekt måste skidåkaren utveckla?

2019-03-16 06:00  

Årets Vasalopp har redan ägt rum, men här är ett problem från fysikprofessor Göran Grimvall som åkarna kan fundera på under träningsrundorna inför nästa år.

1. VASALOPPSÅKARE

I miniproblemet i januari 2019 om temperaturen i ett flygplan konstaterades att en människa i vila utvecklar ungefär 1 watt per kilogram kroppsmassa, bara för att hålla alla kroppsfunktioner igång. Nu frågar vi oss i stället hur stor effekt per kroppsmassa en vältränad Vasaloppsåkare utvecklar under stakning på horisontell mark.

Den mest osäkra parametern är friktionstalet. Låt oss sätta det till 0,04 för skida mot snö. Människan betraktad som en energiomvandlande maskin har typiskt en verkningsgrad på 25 procent. Det betyder att tre gånger så mycket energi som krävs för att övervinna friktionsmotståndet för skidor mot snö blir värme som kroppen måste kyla bort.

Hur stor effekt uttryckt som W/kg måste åkaren utveckla för att skidorna ska glida mot underlaget?

2. FAHRENHEIT

Över nästan hela världen mäts temperaturer i grader Celsius, ºC. Med den temperaturskalan fryser vatten vid 0 ºC och kokar vid 100 ºC.

I USA använder man som bekant grader Fahrenheit, ºF. Då fryser vatten vid 32 ºF och kokar vid 212 ºF. Den temperatur där en speciell blandning av is och ett salt fryser lät Fahrenheit motsvara 0 ºF. Det är ungefär –18 ºC.

Bakgrunden till att just –18 ºC rekommenderas för hushållsfrysar är att när de introducerades i USA ville man ge allmänheten ett värde, 0 ºF, som var lätt att komma ihåg. Det är inget magiskt som händer vid den temperaturen men det ger en rimligt lång hållbarhet för frysta livsmedel.

Läs mer: När isarna smälter, blir dygnet då längre?

Det exakta sambandet mellan temperaturen given i de två temperaturskalorna av mätetalen F och C är C = (F – 32)(5/9). Den här formeln är inte särskilt lämplig för en snabb beräkning i huvudet.

I samband med att jag tittar på amerikanska tv-program använder jag därför ibland en approximativ metod som lyder så här vid omvandling från grader Fahrenheit till grader Celsius: Drag bort 32, dela resultatet med två och lägg till 10 procent.

Vi kan testa med vattnets kokpunkt, 212 ºF, och får: 212–32 = 180, därefter 180/2 = 90 plus 10 procent av 90 som ger slutresultatet 99 ºC.

I miniproblemet kan läsaren testa metoden för att undersöka vilken känd temperatur 100 ºF motsvarar.

Läs mer: Hur mycket radioaktivitet finns i bananen?

Läsaren kan också kontrollera om en kvicksilvertermometer (fryspunkt cirka –39 ºC) fungerar under de rekordlåga temperaturerna i Chicago i slutet av januari i år (till exempel –21 ºF vid flygplatsen O’Hare), samt komma fram till vad Fahrenheit 451 motsvarar.

Det är titeln på en berömd science fiction-bok av Ray Bradbury från 1953 om ett framtida USA där böcker är förbjudna och därför eldas upp, och syftar på den temperatur då bokpapper sägs börja självantända.

3. VARM ELLER KALL DIAMANT

Grundämnet kol i form av ren diamant har extremt hög värmeledningsförmåga vid rumstemperatur. Det påstås ha använts i den undre världen för att snabbt avgöra om ett smycke innehåller en verklig diamant eller bara en särskilt hård form av glas.

Diamanten eller glasbiten hålls mot ett av kroppens temperaturkänsligaste ställen – mot överläppen. Chalmersteknologerna Emil och Emilia är inte överens om diamanten då känns kall eller varm.

Emil menar att diamanten, som antas att ursprungligen ha rumstemperatur, värms upp så snabbt vid kontakt med huden att den känns varm. Emilia tror också att diamanten värms upp vid kontakt med läppen, men att den då känns kall eftersom den fört bort värme från huden.

Vem har rätt?

.

.

.

.

.

.

Lösningar

1. Vasaloppsåkare

I en enkel modell får vi cirka 8 W/kg.

Effekt är arbete (energi) per tid. Arbetet får vi som kraft gånger väg, Effekten kan alltså skrivas som kraft gånger väg-per-tid, eller kraft gånger fart. Kraften (friktionsmotståndet) kan enligt ett välkänt uttryck skrivas Mgf där M är kroppsmassan, g = 10 m/s2 är tyngdaccelerationen och f = 0,04 är friktionstalet. Åkarens fart kan vi anta typiskt är v = 5 m/s (18 km/h).

Den sökta effekten per kroppsmassa blir således Mgfv/M = gfv = 2 W/kg. Med hänsyn tagen till 25 % verkningsgrad får vi totalt ca 8 W/kg.

Men detta är bara effekten för att övervinna friktionsmotståndet. Härtill kommer kroppens tomgångseffekt och effekten förenad med kroppsdelarnas inbördes rörelse under stakningen m.m. Totalt dominerar dock friktionsmotståndet om man åker på horisontell mark. Som vanligt vid enkla modellräkningar kan den numeriska onoggrannheten i svaret vara ganska stor.

Betraktat som ett övningsproblem i mekanik är det sättet att resonera som är viktigt; i vårt fall att effekten är den bromsande kraften multiplicerad med farten.  

2. Fahrenheit

Tumregeln ger 37,4 ºC (noggrannare 37,8) för 100 ºF, vilket approximativt är kroppstemperaturen på eftermiddagen. Vidare får vi –29,2 ºC (noggrannare –29,4) för O’Hare så kvicksilvertermometrar skulle fungera där.

Antändningstemperaturen för papper blir 230 ºC (noggrannare 233 ºC). Tumregeln duger alltså bra i ett ganska stort temperaturintervall.

3. Varm eller kall diamant

Emilia har rätt. Det sägs att diamanter därför kallas ice i vissa kretsar.

Glas har så dålig värmeledningsförmåga att dess temperatur inte ändras nämnvärt vid en kort kontakt med huden. Vi kan jämföra med att gå barfota på ett trägolv och ett marmorgolv som har rumstemperatur. Trä leder värme mycket sämre än marmor. När den varma foten träffar marmorgolvet går värme från foten till golvet, och ytskiktet av foten får lägre temperatur än naken hud. Det känns därför kallare än på ett trägolv, trots att båda golven kan ha samma temperatur.

Omvänt bränner man sig inte på bastulaven även om dess yttemperatur kanske är 80 grader Celsius, för den är gjord av ett träslag med mycket låg värmeledningsförmåga. Sätter man sig däremot på en järnplåt med samma temperatur bränns det!

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt