Är hjärnan mogen för en examen?

2020-07-05 08:00  
Illustration: Ola Skogäng

Även enkla problem kan kräva eftertänksamhet för att svaret ska bli rätt. Här är tre problem från fysikprofessor Göran Grimvall.

1. Mogenhetsexamen

En för hela Sverige gemensam studentexamen infördes 1864 och avskaffades 1968. Den kallades ett tag mogenhetsprövning (mogenhetsexamen). Undervisning gavs till en början vid så kallade Högre allmänna läroverk. Studierna avslutades med skriftliga prov (studentskrivningar) och muntliga prov. Vid mitten av 1880-talet hade de 36 offentliga och sex privata läroverken i Sverige knappt 1 000 elever i gymnasiets högsta årskurs, varav cirka 20 procent gick reallinjen (för naturvetarna) och resten latinlinjen.

Över 100 blev underkända och måste gå om ett år eller lämna skolan. Kring år 1960 blev cirka 5 procent underkända i studentexamen.

Eftersom alla reallinjens elever hade samma fysikprov var det viktigt att deras kurser innehöll samma moment. Förvånansvärt nog fanns det tidigt flera läroböcker i ämnet. August Wijkanders (1849–1913) böcker täckte alla fysikens områden: kroppars jämvikt och rörelse, vätskor, gaser, ljud, ljus, värme, elektricitet och magnetism.

Den var även avsedd att i delar användas för elever på latinlinjen, som läste en kortare fysikkurs. Men mer känd är Wijkander som föreståndare för Chalmerska slöjdskolan i Göteborg och vid ombildningen till Chalmers tekniska institut dess förste rektor, samt professor i fysik.

Han var även riksdagsman och hade många offentliga uppdrag. På Chalmers campus i Johanneberg finns restaurang Wijkanders och i närheten ligger Wijkandersplatsen.

Wijkanders lärobok från 1885, Lärobok i fysik för de allmänna och tekniska läroverken. II. Läran om värmet och ljuset, var mycket modern och innehöll en färgbild med spektrallinjer för solen och alkalimetallerna.

I den boken hittar man följande problem som givits i mogenhetsprövningen i början av 1880-talet. Trots att uppgiften egentligen är ganska lätt är det troligt att många av Ny Tekniks läsare inte skulle få helt rätt.

”Två ljuskällor befinna sig på 100 meters afstånd från hvarandra och ljusintensiteten hos den ena är 16 gånger så stor som ljusintensiteten hos den andra. Frågas, hvarest den punkt på förbindelselinjen mellan båda ljuskällorna är belägen, som lika starkt belyses af de båda.”

2. Vad är 1 Gg?

Hur kan man uttrycka 1 Gg en-bart i ord som är mycket vanliga i vardagsspråket? Lösningen ska innehålla tre ord, där bokstaven t förekommer totalt fyra gånger.

3. Hjärnkraft och kärnkraft

En människa måste hela tiden utveckla en viss effekt för att hålla kroppen i gång, även när vi inte utför något ansträngande kroppsarbete. Hjärnan kräver så mycket som 1/5 av den utvecklade effekten – ungefär lika mycket både när vi vilar eller sover som när vi tänker hårt på ett besvärligt problem.

Det är drygt 10 watt per person. Totalt i alla jordens hjärnor blir det en avsevärd energiomvandling. Kan det röra sig om lika mycket som i ett typiskt svenskt kärnkraftverk, eller mycket mer eller mycket mindre?

Lösningar

1. Mogenhetsexamen

Låt den sökta punkten befinna sig på avståndet x meter från den svagare ljuskällan. Belysningen avtar med kvadraten på avståndet från ljuskällan. Då får man ekvationen

1/x2 = 16/(100-x)2

eller

(100-x)2 = 16x2

Drar man roten ur vänster och höger led får man

100-x = 4x

som ger sökta avståndet x = 20 meter. Men det finns också lösningen 100-x = -4x, som ger avståndet 33 1/3 meter bortom den svagare ljuskällan och alltså 133 1/3 meter från den starkare ljuskällan.

Hur många av läsarna tänkte på att det finns två fall?

På den tiden geometri utgjorde en viktig del av skolans matematik var eleverna väl förberedda på att problemtexten (som gavs utan figur) kunde innebära mer än ett fall, till exempel där en triangels höjd föll utanför eller inom triangelns bas. Notera att begreppet linje inte har några fixa ändpunkter, i motsats till en sträcka.

2. Vad är 1 Gg?

Svaret är ett tusen ton. Enheten ton, betecknad t, är en tilläggsenhet i det internationella enhetssystemet, SI. Massenheten i SI är ju kg men eftersom dubbla tiopotensprefix inte får förekomma så kan man inte skriva t.ex. 1 000 t = 1 Mkg (megakilogram) utan man måste skriva 1 000 t = 1 Gg eller 1 000 Mg.

Massenheten är den enda i SI som innehåller ett tiopotensprefix. Det har därför diskuterats att man skulle finna ett eget namn för den, i stil med enhetsbenämningarna meter, sekund, ampere, kelvin, volt och newton. Ett lämpligt tillfälle för ett sådant namnbyte var i maj 2019, då det nya SI trädde i kraft. Inget allvarligt diskuterat förslag kom dock fram, och vi får leva med denna otymplighet i SI.

Enheten gram är inte den enda i SI som är för liten för vardagslivet. En annan härledd enhet, det vill säga en enhet som kan uttrycks i några av de sju grundenheterna kg, m, s, A, K, mol och cd, är tryckenheten pascirkal, Pa. I vardagslivet möter vi normalt lufttryck, 1 000 hPa (hektopascirkal).

Tidigare förekom enheten bar men den ska inte längre användas. Inom medicin används fortfarande mmHg för blodtryck, motsvarande den äldre enheten 1 torr (enhetsbenämning, efter personen Evangelista Torricelli) = 1 Torr (beteckning) = 1 mmHg.

Enheten ton förtjänar också några kommentarer. På engelska finns enheterna long ton (USA), cirka 1 016 kg, och short ton (UK), cirka 907 kg. I USA talar man om 1 metric ton = 1 000 kg för att skilja det från long ton.

När det gäller storleken på fartyg angavs den tidigare i registerton, ett bruk som upphörde att gälla 1994. Detta är dock ingen massenhet utan ett volymmått, cirka 2,83 kubikmeter. Ursprunget till ordet ton i detta sammanhang är det franska ordet tonneau som betydde vintunna.

Fartygets storlek angavs i hur många tunnor det kunde lasta. Det måttet låg till grund för beskattningar, hamnavgifter och försäkringspremier. Numera används termen dräktighet för att ange ett fartygs storlek. Det är ett dimensionslöst tal som bland annat innehåller volymen av fartygets lastutrymmen.

3. Hjärnkraft och kärnkraft

Totala effektutvecklingen i alla hjärnor är långt mer än den i ett kärnkraftverk. Låt oss göra en grov uppskattning, där vi bara räknar med hela tiopotenser. Några läsare vet kanske att ett kärnkraftverk typiskt kan leverera 1 000 MW = 1 GW. Om det motsvarar den totala effekten från jordens knappt 10 miljarder hjärnor blir det bara 0,1 W per person i stället för det korrekta ungefär 100 gånger mer.

Alternativt vet man att kärnkraften står för nästan hälften av Sveriges elenergi och att det finns knappt tio kärnkraftverk i Sverige (sju stycken 1 januari 2020). Med 10 watt från hjärnan för alla jordens invånare blir det totalt 100 GW. Om denna effekt var typisk för ett enda kärnkraftverk skulle Sveriges alla kärnkraftverk sammanlagt ge ungefär 1 000 GW eller 100 kW per svensk invånare, vilket är orimligt. Även om vi tar hänsyn till att den mesta kärnenergin blir värme och inte elektricitet så är totala effektutvecklingen i världens alla hjärnor större än i ett normalt kärnkraftverk.

Ett annat sätt att resonera utgår från att 1 kWh el kostar cirka 1 krona. Då blir värdet av energiomsättningen 100 GW i jordens alla hjärnor 100 miljoner kronor per timme. Om det gällde för ett enda kärnkraftverk skulle det varje år generera el för orimliga 1 000 miljarder kronor.

När jag undervisar på KTH om rimlighetsbedömningar och ställer en sådan fråga till en student vill jag inte ha en gissning utan svaret ”Jag har inte en aning, men om du ger mig lite tid ska jag nog komma fram till ett rimligt svar”. Lösningen på miniproblemet visar hur man kan utgå från mycket skilda, och ibland något osäkra, kunskaper. I vårt fall är svaret så entydigt att man inte behöver fästa sig vid detaljer, inte ens på nivån en faktor två eller mer.

Göran Grimvall

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt