Sifferanalys avslöjar kreativ bokföring

1999-09-22 13:00  

Skatteakrobater och bokföringskonstnärer får se upp. Var och en som i framtiden försöker sig på kreativ bokföring utan att ta hänsyn till sannolikhetsteorins senaste landvinningar löper risken att obönhörligt avslöjas i ett nytt sifferanalysprogram.
Programmet bygger på vad som brukar kallas Benfords lag - det faktum att tal som representerar priser, kostnader eller liknande uppgifter oftare börjar med låga siffror, som 1 eller 2, än med 7, 8 eller 9.

Benfords lag upptäcktes egentligen av en matematiker vid namn Simon Newcomb redan 1881; Newcomb hade lagt märke till att logaritmtabeller var mer tummade på de sidor som innehöll tal som började med låga siffror än de som började med höga. Men "lagen" fick sitt namn för sextio år sedan efter fysikern Frank Benford som då jobbade vid General Electric. Benford publicerade 1938 resultatet av en undersökning han gjort av prislistor, sportresultat, tal i tidningsartiklar, ytor som olika floder avvattnar, elektricitetsräkningar, ja till och med gatuadresserna till amerikanska fysikerförbundets medlemmar. Sammanlagt innehöll listorna han analyserat 20 229 olika tal.
Benford fann till sin förvåning att nästan vart tredje tal började med siffran 1. Sjutton procent av talen började med 2 och sedan sjönk förekomsten alltmer ner till 4,6 procent för siffran 9. Det verkar ju helt otroligt att vissa siffror uppträder oftare än andra. I en slumptalstabell är det inte så - det är ju själva definitionen på slumptal - men i levande livet lyder talen Benfords lag. Vad är det då som skiljer "naturliga" tal från de rena slumptalen? Matematikern Theodore Hill vid tekniska högskolan i Atlanta kom 1996 med ett förslag till en förklaring.

Allt vi mäter i världen är resultatet av någon typ av process, och det avslöjar sig i fördelningen av mätresultaten. Mäter vi svenska rekryters längd får vi en rad tal som ordnar sig som en normalfördelning. Mäter vi temperatur under en längre tid får vi en vågformad fördelning. Andra processer genererar logaritmiska fördelningar etc. Om man nu tar stora mängder mätresultat av alla tänkbara slag skulle dessa fördela sig efter en "fördelningarnas normalfördelning", hävdar Hill. Och det är denna som ger upphov till Benfords lag. Lagen är skalinvariant - det spelar ingen roll vilka enheter vi använder - och lagen gäller i modifierad form även för andra talsystem än det decimala.

Låt oss tänka oss en vara som idag kostar, låt oss säga 20 kronor. Låt oss nu också tänka oss att vi har en årlig inflation på 20 procent, vilket gör att varans pris varje år ökar med 20 procent. Prisutvecklingen ett tiotal år framåt skulle då se ut så här (i avrundade kronor):
I år 20:-
År 2000 24:-
År 2001 29:-
År 2002 35:-
År 2003 41:-
År 2004 50:-
År 2005 60:-
År 2006 72:-
År 2007 86:-
År 2008 103:-
År 2009 124:-
År 2010 149:-
År 2011 178:-
Som synes av tabellen börjar priset med siffran 1 under fyra av de tolv åren. Under tre år börjar priset med siffran 2. Däremot finns de högre siffrorna bara högst ett år var, och siffran 9 finns över huvud taget inte representerad i tabellen.
Fördelningen av begynnelsesiffror liknar den logaritmiska skalan på en räknesticka, där sträckan mellan 1 och 2 är betydligt längre än den mellan 8 och 9.
Benfords lag säger att sannolikheten för att ett tal ska börja med siffran d är: 10log {1 + (1/d)}.
Men Benfords lag är faktiskt betydligt mer än en matematisk kuriositet. Den kan nämligen med framgång användas för att avslöja fiffel med bokföring och rådata.


Mark Nigrini, fiffig revisor med sinne för siffror.
En revisor vid namn Mark Nigrini har utnyttjat Benfords lag i ett dataprogram för analys av bokföring. Om fördelningen av begynnelsesiffror i ett företags bokföringsposter inte stämmer överens med Benfords lag pinglar en varningsklocka och man kan misstänka att någon manipulerat böckerna.
För att prova programmet körde man igenom bokföringen från några kända svindelföretag som tidigare dömts i rätten. Programmet reagerade direkt på siffrorna. Däremot lär programmet inte klagat ha på president Bill Clintons bokföring. En av världens största revisionsbyråer, Ernst & Young, använder nu denna teknik för att snabbkolla räkenskaper. Och just i dessa dagar startar utbildning i sifferanalys för amerikanska taxeringsintendenter och revisorer, meddelar New Scientist. Metoden är effektiv, och ger ofta intressanta uppgifter vid sidan om. Man finner att vissa speciella belopp ofta dyker upp. Det handlar ofta om summor som ligger precis under gränsen till vad en viss tjänsteman får utanordna utan tillstånd från en högre chef. I amerikansk bokföring hittar man dessutom mängder av bokförda poster om 24 dollar. Reseersättningar under 25 dollar behöver nämligen inte bestyrkas med kvitto. Sifferanalysen är för talen vad lingvistiken är för språket.

Det är inte bara Benfords lag som verkar gå emot sunda förnuftet. I sannolikhetsteorin finns en rad klassiska exempel. Theodore Hill brukade ge sina nya studenter en hemläxa, bestående av att singla slant 200 gånger och anteckna utfallen. Eftersom många av studenterna tyckte det var en tidsödande och tråkig uppgift, så fanns det alltid några som fuskade - de skrev snabbt ner vad de tyckte verkade vara en rimlig utfallstabell utan att ha singlat slanten. Professor Hill kunde oftast avslöja fuskarna genom en hastig blick på deras tabeller. Det är nämligen högst sannolikt att krona (eller klave) kommer upp minst sex gånger i rad i en serie av 200 kast. Men studenterna undvek vanligen att ljuga ihop en lista med fler än tre lika utfall i rad, i tron att de därmed var på den säkra sidan. "Sanningen är", säger Hill, "att folk inte känner till vad som egentligen är sannolikt. Därför kan de sällan fejka ihop trovärdiga data utan att det märks."

Efter Jobbet-redaktionen roade sig med att göra ett ovetenskapligt snabbtest av Benfords lag med hjälp av Internet. Vi använde sökmotorn Evreka och sökte helt enkelt på olika tal. Så antecknade vi hur många träffar vi fått. Detta blev resultatet:
Sökord: Antal träffar:
"120" 4 269 635
"420" 1 030 260
"820" 416 880

Benfords lag tycks alltså gälla även ute på Internet.

Kaianders Sempler

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt

Läs mer