Krökt geometri av den högre skolan

2009-03-31 23:00  

Den rysk-franske matematikern Michail Leonidovitch Gromov har fått årets Abelpris – den norska motsvarigheten till Nobelpriset, fast i matematik – för sina arbeten om differentiell och symplektisk geometri. Priset är på sex miljoner norska kronor. Ny Teknik berättar vad det hela egentligen handlar om.

Betrakta en helt vanlig triangel.

Vad kan man säga om den? Tja, till att börja med att den är en sluten figur med tre lika eller olika långa sidor. Men det finns en sak som är säker, och det är att summan av de två kortare sidorna aldrig kan vara kortare än den längsta sidan. För då skulle det ju inte bli någon triangel alls.

Detta kallastriangelolikheten, och är en av geometrins grundsatser. Det hela kan skrivas så här:

|a| + |b| ? |c|

Detta visste man redan under antiken.

.

Grekerna,med Pythagoras och Euklides i spetsen, utforskade huvudsakligen plan geometri.

Sådant som man kan rita upp med linjal och passare på ett platt papper.

Här finns parallella linjer, här gäller Pythagoras sats, sinus- och cosinusteoremen och annat smått och gott som vi är vana vid från skolan.

Men det finns ocksåandra typer av geometri, där ytan vi ritar figurerna på inte är plan utan krökt. Som exempelvis jordens yta.

Sfärisk geometriställer till en del problem. Här är nämligen inte triangelns vinkelsumma exakt 180 grader, som på det platta papperet, utan mer. Ta exemplet när vi ritar upp en triangel med ett hörn i Nordpolen och de andra två vid ekvatorn. Då kan triangeln ha tre vinklar med vardera 90 grader. Vinkelsumman blir hela 270 grader.

Sfärisk geometrikallas positivt krökt. Men det finns också negativt krökta, sadelformiga, ytor. Där är triangelns vinkelsumma mindre än 180 grader.

Det finns också andra saker som skiljer plan och krökt geometri. I plan geometri är den kortaste sträckan mellan två punkter en rät linje, och parallella linjer skär inte varandra, hur långt man än drar ut dem. I sfärisk geometri, som på en jordglob, finner man enklast den kortaste vägen genom att sträcka ett gummiband mellan punkterna. Men här kan det finnas flera olika kortaste vägar. För vilken är den kortaste vägen mellan Nord- och Sydpolen? Jo, längs vilken meridian som helst.

Dessutom finns inga parallella linjer på en sfär. Alla linjer kommer att skära varandra.

I en negativt krökt yta blir det tvärtom. Där finns många linjer som aldrig skär varandra.

De förstasom började intressera sig för icke-plana geometrier på allvar var de tyska matematikerna Euler (1707–1783) och Gauss (1777–1855), som införde mått för en ytas krökning. En sfär har den totala krökningen 4?. Nu kan ytor vara krökta lite hur som helst. Ta ytan på en badring, en torus. Den har ett hål, och innehåller både positiv och negativ krökning. För varje hål minskar den totala krökningen med 4 ?. Torusens totala krökning är noll.

Det berättas att Gauss gav sin elev Bernhard Riemann i uppgift att undersöka saken närmare. Riemann presenterade sina upptäckter i ett berömt föredrag i Göttingen 1854. Han behandlade inte bara krökta tvådimensionella ytor, utan vidgade begreppen till att röra hur många dimensioner som helst.

Flerdimensionella rymder kallasmångfalder, på engelska manifolds. (Ej att förväxla med samma ord som betyder grenrör inom fordonsindustrin).

Einstein fick god användning för Riemannsk geometri när han i sin allmänna relativitetsteori fann att tomma rymden kröks av massan i stjärnor och galaxer. Det gör att den kortaste vägen mellan två punkter inte behöver vara ”rak” eller ens entydig.

En av de mest spektakulära effekterna av relativitetsteorin är gravitationella linser – svarta hål eller galaxer kan böja ljuset från objekt bakom dem. Resultatet kan bli att det finns fler närmaste vägar för ljuset att gå, vilket gör att vi ser dubbla eller flerdubbla bilder av det bakomliggande objektet.

Den rysk-franske matematikernMichail Gromov har jobbat vidare på Riemanns och Einsteins krökta rum i många dimensioner. Ta som exempel ett landskap, som i figuren längst upp på sidan, med berg, dalar, svårgenomträngliga kärr och andra hinder. De utgör en annan typ av krökning.

Vad är den snabbaste vägen för att bege sig mellan två punkter? Inte längs en vanlig rät linje (såvida man inte fuskar och är fågel), utan det beror på terrängen. För att kunna beräkna den snabbaste vägen får vi förse varje punkt med värden för framkomlighet i olika riktningar. Också här, som i fallet med rymdens krökning runt tunga massor, kan det finnas fler än en snabbaste väg.

Modellen med landskapet illustrerardifferentiellochsymplektisk geometri,ett av de områden inom matematiken som Mikhail Gromov helst sysslar med. Ämnet har fått användning i både kosmologi och för teorin om supersträngar. I strängteorierna antas rymden ha elva dimensioner, varav alla utom tre dock är så hårt hoprullade i sig själva att vi inte märker dem.

Gromov har tillsammans med supersträngforskaren Edward Witten utvecklat något som kallasGromov-Witteninvarianter, ett ämne som kommer till användning inom partikelfysik och kvantfältteori.

För sina arbeten får nu Gromov det norska Abelpriset för 2009. Förutom äran, medalj och diplom ingår en check på sex miljoner norska kronor. ”Det är otroligt vad han kan göra, bara med hjälp av triangelolokheten”, säger den amerikanske matematikern Dennis Sullivan i en kommentar.

Abelprisetär världens kanske mest prestigefyllda matematikpris. Det instiftades 2001 av norska Stortinget till minne av Niels Henrik Abel, en norsk matematiker i världsklass, som tyvärr aldrig erkändes under sin livstid. 27 år gammal dog han i tuberkulos, som han ådragit sig under en vistelse i Paris.

Kaianders Sempler

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

  Kommentarer

Debatt

Läs mer