Kontinuiteten och oändligheterna

2013-04-17 06:40 Kaianders Sempler  

Man ska vara försiktig när man grubblar över oändligheter. Sådana tankar har drivit mången matematiker till vanvett. Men något så harmlöst som den kontinuerliga linjen då? Nej, passa er för den. Den är oändligt mycket farligare än den verkar.

Det berättas att några judiska rabbiner i Spanien på 1200-talet fann en meditationsmetod som skulle låta dem se Gud i all hans oändlighet. Tyvärr gick det inte så bra när de prövade. En blev avfälling, en dog på fläcken och en förlorade förståndet.

Fast egentligen startade nog alltsammans på 400-talet f Kr med den grekiske filosofen Zenon från Eleia och hans berömda paradoxer. I en av dem visade Zenon att det logiskt sett är omöjligt att gå ut ur ett rum. För först måste man gå halva sträckan till dörren, därefter hälften av den sträcka som återstår, sedan hälften av denna och så vidare i oändlighet. Det blir alltid en liten sträcka kvar.

Grekiska lärde tänkte så det knakade, men kunde aldrig riktigt få bukt med det hela.

Den tyske matematikern Georg Cantor utvecklade i slutet av 1800-talet matematikens logiska grund, mängdläran. En mängd består av en samling element, exempelvis fem myror eller fya elefanter. Mängden kan också utgöras av enbart tal. Ett exempel på en sådan mängd är alla heltal mellan noll och tio. Mängder kan vara stora eller små, men de kan också vara oändliga. Eftersom varje heltal n följs av ett större heltal n+1 följer att mängden heltal är oändlig.

När Cantor funderade över oändliga mängder fann han snart en rad nya paradoxer. Man kan ju exempelvis tycka att det borde finnas dubbelt så många heltal som det finns udda eller jämna tal, för så är det ju inom ett givet intervall. Men inte när det gäller oändliga mängder. Cantor fann att mängden av alla heltal är precis lika stor som mängden av alla udda eller jämna tal.

Hur kommer sig nu detta? Jo, låt oss till varje heltal associera ett tal som är dubbelt så stort. Då får vi två oändliga talserier. Till varje tal i heltalsserien finns ett dubbelt så stort i serien med jämna tal. Och eftersom det för varje tal n i en oändlig rad heltal finns ett tal n+1 som är större finns också ett associerat tal 2(n+1). Man kallar sådana här oändliga mängder för uppräkningsbara.

På samma sätt finns det lika oändligt många bråk som det finns heltal. Bråken bildar också en uppräkningsbar oändlig mängd. Att det verkligen är så visas i bakgrunden av figuren ovan. Om man följer de diagonala pilarna kommer man att kunna pricka av samtliga tänkbara bråk. Tillsammans bildar de den oändliga mängden rationella tal.

Redan Pythagoras upptäckte på 500-talet f Kr att det finns tal som inte går att exakt uttrycka som en kvot mellan heltal och därmed varken är udda eller jämna – sådana som exempelvis roten ur två. Dessutom finns tal som över huvud taget inte går att uttrycka genom aritmetiska operationer, som pi och e. I själva verket finns det oändligt fler sådana transcendentala tal än vanliga rationella. De rationella plus de irrationella talen bildar tillsammans den oändliga mängden reella tal, vilken Cantor fann vara oändligt mycket större än mängden rationella tal. Det finns alltså oändligheter med olika mäktighet.

Cantor visade att mängden punkter på en linje, även om det är ett ynka litet linjesegment, inte är uppräkningsbar. (Cantors bevis finns för detta finns i faktarutan nedan).

Cantor kallade sina oändliga mängder transfinita kardinaltal och betecknade dem med Alef, den första bokstaven i det hebreiska alfabetet. Den enklaste, om man så vill ”minsta”, oändligheten kallade han Alef noll. Det är den uppräkningsbara oändliga mängden, exempelvis alla heltal. Den ännu mäktigare mängden punkter på en linje, och märkligt nog även punkterna på ett plan och i en kropp, kallade han Alef ett. Fanns det kanske ännu mäktigare oändligheter?

Jodå. Cantor kunde visa att antalet funktioner på en linje var ännu oändligare än punkterna på linjen.

Cantor fann också att det gick att räkna med kardinaltalen precis som med vanliga tal, men räknereglerna blev något enahanda: Alef noll+1 = Alef noll. Alef noll+Alef noll= Alef noll. Alef noll · Alef noll= Alef noll.

Men vid exponering hände det något: alef noll upphöjt till alef noll = alef ett. Mer generellt visade det sig att 2 upphöjt till Alef n = Alef (n+1). Det innebar att det fanns oändligt många oändligheter, den ena mäktigare än den andra.

Men var det verkligen säkert att det inte fanns någon oändlighet mellan den uppräkningsbara och punkterna på linjen? Cantor försökte bevisa den så kallade kontinuumhypotesen, och det var nu han gick in i väggen. Han fick ett nervöst sammanbrott och togs in på en Nervenklinik, ett mentalsjukhus, i sin hemstad Halle.

Cantor hade angripits hårt av en matematiker vid namn Leopold Kronecker. ”Gud skapade heltalen. Allt annat är människans verk”, sa Kronecker och hävdade att Cantors idéer om oändliga mängder var rena tramset. Cantor kände sig motarbetad och förföljd av Kronecker, vilket inte var så konstigt. Kronecker gjorde sitt bästa för att hindra att Cantors artiklar publicerades i tysk fackpress, och han såg noga till att Cantor inte skulle kunna få någon professur i Berlin.

Lyckligtvis saknade inte Cantor vänner bland gräddan av dåtidens matematiker. En av dem var den svenske matematikern Gösta Mittag-Leffler, som 1882 hade startat den internationella tidskriften Acta Mathematica. Här kunde Cantor fritt publicera sina artiklar.

Cantor skrev till Mittag-Leffler i Stockholm att han just funnit ett bevis för att mängden punkter på en kontinuerlig linje verkligen var ?1. Inom kort skulle han sända över en artikel om saken. Men tiden gick, och inget bevis kom. I stället kom ett nytt brev, där Cantor hävdade att han nu funnit ett bevis för att punkterna på linjen INTE utgjorde Alef ett.

Ju mer Cantor grubblade över kontinuiteten desto mer paranoid och förvirrad blev han. Han togs med allt tätare mellanrum in på nervkliniken, där han under sina sjukdomsperioder envist ägnade sig åt att försöka bevisa att det i själva verket var Francis Bacon som hade skrivit Shakespeares dramer.

1918 avled Cantor på kliniken utan att ha fått bukt med oändlighetsproblemen. Hans fallna mantel togs upp av en rad andra framstående matematiker. Först av Ernst Zermelo, en man som 1908 formulerade ett grundläggande axiomsystem för matematiken. Han blev galen. Därefter kom österrikaren Kurt Gödel. Gödel lyckades visserligen lösa problemet med kontinuumhypotesen, eller snarare visa att den varken gick att bevisa eller motbevisa inom matematikens axiomsystem, men han blev fullständigt från vettet på kuppen.

Så kan det gå. Se upp för oändligheterna.

Cantors bevis för att den oändliga mängden av rella tal inte är uppräknelig

Låt oss tänka oss att vi skriver ner alla reella tal mellan 0 och 1. Det kan vi göra om vi skriver dem i decimal form med oändligt många decimaler. Då får vi en oändligt lång lista som ser ut ungefär som nedan (även om talen här inte står i någon speciell ordning):

0,2198235790382447...

0,0192637102274003...

0,9546835274056030...

0,943243117177119892...

0,22232436718273621...

............................................ .

...........................................

Låt oss ur denna oändligt långa lista av tal skapa ett nytt tal av diagonalen av siffrorna, den första decimalen ur det första talet i listan, den andra decimalen ur det andra talet, den tredje ur det tredje och så vidare. Vi får då ett talet 0,21423.... Cantor ändrade sedan detta tal på följande fiffiga sätt: han lade till 1 till varje decimal, och fick nu talet 0,32534....

Varför nu detta? Jo, för därigenom fick han fram ett nytt unikt tal som inte tidigare funnits med i den oändligt långa listan. Åtminstone en decimal måste nämligen vara annorlunda än i den ursprungliga listan, eftersom ett var lagt till just den decimalen.

Eftersom det nya talet skiljer sig från alla tal i listan är det omöjligt att lista alla tal mellan 0 och 1. Det innebär att den oändliga mängden av alla rella tal inte är uppräkningsbar, och att mängden reella tal är större (mäktigare) än mängden rationella tal.

Kaianders Sempler

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

Här är reglerna för kommentarerna på NyTeknik

  Kommentarer

Dagens viktigaste nyheter

Aktuellt inom

Senaste inom

Debatt