Hotel Infinito

2015-02-11 06:26 Kaianders Sempler  

KAIANDERS. Hur kommer det sig att det alltid finns lediga rum på Hotell Infinito trots att det är fullbelagt? Hur många gäster som än är inbokade tycks det alltid finnas rum till nyanlända.

Det är världskongress på ­Kafé Matematika, alla tiders matematikers stamlokus någonstans vid östra Medelhavet. Alla är där! Naturligtvis befinner sig även Ny Tekniks utsände på plats och rapporterar här om problemen med inkvarteringen av kongressdelegaterna.

Min gamle vän Pythagoras möter mig vid flygbussen. ”Roligt att du kunde komma till kongressen, unge man”, säger han och dunkar mig hjärtligt i ryggen.

Jag förklarar att jag fått tag i en sistaminuten-resa för en spottstyver men att det tyvärr inte verkar finnas ett enda hotellrum att uppbringa i hela stan.

Inga problem”, säger Pythagoras. ”Följ mig.”

Släpande på mitt bagage banar vi oss väg genom folkvimlet tills Pythagoras stannar framför entrén till ett jättelikt hotellkomplex. ”HOTEL ­INFINITO – här får ni alltid rum!” läser jag på en ärgad mässingsskylt. Under skylten sitter lappar med texten ”Fullbelagt!” på en mängd såväl nu levande som utdöda språk.

Arkitekten bakom detta hotell är min gode vän David Hilbert. Här finns alltid plats”, säger Pythagoras och stegar iväg mot receptionen.

Tyvärr, vi har fullt”, säger en svettig man bakom disken och slår uppgivet ut med händerna.

Ni har ju oändligt många rum.

Vad hjälper väl det när vi invaderas av oändligt många gäster inför kongressen?

Löjligt”, säger Pythagoras. ”Gör så här: låt gästen i rum nummer ett flytta till rum nummer två. Då blir ju rum ett ledigt, och där kan min unge vän flytta in.

Omöjligt! Rum nummer två är redan upptaget. Där bor herr Gauss.”

Jovisst, men vi låter den gamle geten flytta till rum tre. Då blir rum två ledigt, och gästen från rum ett kan flytta in där.

Men herr Gauss kan inte flytta in i rum tre”, framhärdar portieren. ”Där bor signore Fibonacci.”

Vi låter naturligtvis Fibonacci flytta till rum fyra. Och gästen i rum fyra flyttar till rum fem. Och så vidare.”

Men hur är detta möjligt?” frågar portieren klentroget.

Jo”, svarar Pythagoras. ”Eftersom hotellet har oändligt många rum följs alltid ett rumsnummer x – hur högt det än må vara – av ett ännu högre rumsnummer x+1. Det är själva definitionen på oändlighet. Därför kan man alltid hitta nya rum för nya gäster.”

Portieren tuggar på sin mustasch medan han begrundar Pythagoras ord. Därefter avfyrar han en rad distinkta order i sin mobiltelefon. En strid ström av små rödklädda piccolos pilar iväg för att ombesörja flytten. Jag skriver mitt namn på ett registerkort och tar emot rumsnyckeln.

Genom fönstren ser vi hur en rad turistbussar kör fram på gatan utanför hotellet. En oändlig ström nya delegater väller in i receptionen. Portieren börjar åter svettas ymnigt och lyfter händerna i en avvisande gest mot den annalkande hopen. ”Det är fullt”, börjar han men överröstas snart av de nyanländas påstridiga sorl.

Inga problem”, säger Pythagoras. ”Det här fixar vi lätt.”

Omöjligt”, stönar den förtvivlade portieren. ”Även om vi råkar ha oändligt många rum kan vi väl inte ta emot ytterligare oändligt många gäster!”

Jodå”, svarar Pythagoras. ”Det är precis vad vi kan. Gör så här: låt alla flytta till dubbelt så höga rumsnummer. Låt gästen i rum nummer ett – det vill säga min unge vän här – flytta till rum två, gästen i rum två flyttar till rum fyra, rum tre till rum sex och så vidare. På så sätt blir alla rum med udda rumsnummer lediga. I dessa rum kan sedan de nyankomna inkvarteras hur många de än råkar vara, eftersom det finns ett oändligt antal udda tal.”

Portieren lyser upp.Genialt!” utropar han och gnuggar händerna. Nya order i telefonen sänder en ny skur piccolos uppför hotelltrapporna. Jag byter min nyckel till rum nummer ett mot den till rum nummer två.

Egendomligt hotell”, säger jag när vi åker upp i hissen till mitt rum. ”Två plus två är ju fyra. Menar du på fullt allvar att oändligheten plus oändligheten fortfarande bara är lika med oändligheten? Det låter ju inte klokt.”

Kanske inte, men så är det i alla fall”, svarar Pythagoras. ”Fast det finns faktiskt olika sorters oändligheter. Ett bra exempel på den enklaste oändligheten – den uppräkningsbara – är mängden rum här på hotellet. Den brukar betecknas med det transfinita kardinaltalet alef noll. Alef är första bokstaven i det hebreiska alfabetet. Men det finns som sagt flera och mäktigare oändligheter: alef ett och alef två etcetera.”

När vi kliver ut ur hissen möter vi ett vimmel av gäster i färd med att flytta till nya rum. Vi letar oss fram till rum nummer två och jag låser upp dörren.

Vi ses nere på kaféet”, säger Pythagoras och lämnar mig med mitt bagage.

Medan jag duschar av mig resdammet undrar jag i mitt stilla sinne vad som skulle hända om alla hotellets gäster spolade i toaletterna samtidigt.

Plötsligt knackar det på dörren. In kommer en andfådd piccolo och meddelar att man åter behöver hjälp i receptionen. Jag förklarar att herr Pythagoras tyvärr lämnat hotellet, men att jag själv gärna – naturligtvis med all tänkbar finess och diskretion –  bistår hotellet med råd och dåd.

Nere i hotellvestibulen är trängseln obeskrivlig. Jag banar mig väg mot receptionsdisken och finner mig omgiven av bistra ansikten, burnuser och ädelstensbesatta kroksablar.

Saken är den, förklarar portieren medan han torkar sig i pannan, att ytterligare gäster nyss anlänt. Det är en oändlig mängd österländska matematiker under ledning av den berömde Muhammed ibn Musa al-Khwarizmi – mannen som införde nollan i talsystemet. Problemet är att var och en av dessa delegater behagat medföra sitt eget privata harem bestående av ett oändligt antal fruar, bihustrur, konkubiner, kammarsnärtor, eunucker och tjänstehjon.

Man undrar nu om jag möjligtvis har någon fiffig metod för att bereda även alla dessa plats på hotellet?

Ja, där har du ett problem att bita i”, skrattar Pythagoras när jag en stund senare möter honom på Kafé Matematikas uteservering.

När jag lämnade hotellet var förvirringen total och man hade börjat sätta upp tält på den kolossala parkeringsplatsen”, säger jag. ”Frågan är hur alla kan få plats. Jag lovade att komma tillbaka med ett förslag på hur det skulle ordnas.”

Medan jag grubblar över problemet ställer kyparen fram en kanna retsina och en stor grekisk sallad åt oss. Med fårost och milda svarta oliver.

Gick problemet att lösa? Jodå. Det visar sig att även oändligheten gånger oändligheten är en uppräkningsbar mängd. Den som inte själv orkar fundera ut hur man får plats med alla de nyanlända matematikerna och deras harem hittar lösningen här nedanför.

Men försök själv först.

 

 

Så fick alla plats

Problemet gällde att på det fullbelagda Hotel Infinito med ett oändligt antal rum ge plats åt ett oändligt antal nyanlända arabiska matematiker samt deras medföljande oändligt stora harem.

Alla fick plats!

Problemet har flera lösningar men alla går egentligen ut på att man på något sätt sorterar upp rummen i en matris med oändligt många rader och kolumner. Eller, om man så vill, låter hotellet innehålla ett oändligt antal korridorer eller våningsplan med ett oändligt antal rum i varje.

Exempelvis kan man räkna upp rummen som i figuren i spalten till höger.

Rummen fördelas sedan på följande vis:

Först flyttar vi om de oändligt många ursprungliga gästerna så de alla får rum med nummer ur den första kolumnen – på bottenvåningen.

Detta sker enklast genom att gästen i rum 2 flyttar till rum 3, rum 3 till rum 6, 4 till 10 … Kort sagt: gästen i rum x flyttar till rum (x2+x)/2.

När detta väl är gjort finns ett oändligt antal våningsplan som vart och ett innehåller ett oändligt antal tomma rum till förfogande för de nyanlända.

Det gör att vi kan låta matematiker nummer 1 flytta in på våningsplan 1 med hela sitt harem, matematiker 2 på våningsplan 2 etcetera.

Tilldelar vi matematikerna rum ur den första raden i matrisen (rad noll) får matematiker m rumsnummer (m2+m)/2+1.

Efter en smula klurande kan vi också finna en metod att placera damerna i ordning. Frilla nummer n till matematiker m tilldelas förslagsvis rum i rad n och kolumn m vilket ger rumsnumret

(m2+m(2n+1)+3n+n2)/2+1.

Sen är det bara att hoppas att alla kommer ihåg sina nummer.

Alla fick alltså plats. Som vi märker är även oändligheten gånger oändligheten en uppräknelig mängd.

Kaianders Sempler

Kommentarer

Välkommen att säga din mening på Ny Teknik.

Principen för våra regler är enkel: visa respekt för de personer vi skriver om och andra läsare som kommenterar artiklarna. Alla kommentarer modereras efter publiceringen av Ny Teknik eller av oss anlitad personal.

Här är reglerna för kommentarerna på NyTeknik

  Kommentarer

Dagens viktigaste nyheter

Aktuellt inom

Senaste inom

Debatt