Ibland får jag frågan hur man egentligen beter sig för att beräkna pi, detta märkliga tal som beskriver förhållandet mellan en cirkels omkrets eller yta och dess radie. Pi är, som alla vet, ungefär 3,14, men det bekymmersamma är att pi liksom roten ur två är ett irrationellt tal. Det är varken udda eller jämt och det går inte att uttrycka som en kvot mellan vanliga heltal. Så hur beter man sig för att räkna ut det med lämpligt antal decimaler?

Svaret är lika enkelt som häpnadsväckande.

Man låter slumpen göra jobbet!

Det enda som behövs är ett brädgolv, en braständsticka och gott om tid.

Ställningen efter tio kastade stickor: 5 stickor skär en linje. pi = (två gånger antalet kastade stickor)/(antalet stickor som skär en linje) = 2·10/5 = 4. Knappast ett särskild bra närmevärde. Klicka på bilden och kasta själv stckan virtuellt i en java-applet.

Gör så här: Knipsa av en pinne, exempelvis en braständsticka, så att den blir lika lång som avståndet mellan brädorna. Kasta sedan stickan helt på måfå på golvet, och se om den lägger sig över någon av springorna mellan bräderna. Kasta igen. Och igen. Anteckna hur många gånger ni kastat stickan och hur många gånger den korsat en springa.

Dividera sedan dubbla antalet kast med antalet kast då stickan lagt sig över en springa. Då får ni ett närmevärde på p. Ju fler gånger ni kastar stickan, desto bättre blir värdet.

Fantastiskt, eller hur?

Man får inte ha bråttom. För att få ett värde på p med tre siffrors noggrannhet krävs tiotusentals kast. Men om man håller på tillräckligt länge kan man, teoretiskt sett, komma upp i vilken noggrannhet som helst.

Georges Buffon, 1707-1788. En riktig pi-nöt.

Buffons nål

Metoden uppfanns 1777 av en fransman vid namn George Buffon, och går under namnet "Buffons nål". Så här fungerar det hela matematiskt. Häng med nu:

Vi låter avståndet mellan springorna i golvet (som också är stickans längd) vara en längdenhet. När kommer stickan att hamna över en golvspringa? Det beror på två variabler.

1: Med vilken vinkel q mot springorna stickan hamnar på golvet. q kan variera mellan 0 och 180 grader. Eller, uttryckt i radianer, mellan 0 och p.

2: Avståndet D från stickans mittpunkt till närmsta springa. D kan variera mellan 0 och 1/2.

Se figuren nedan. För att stickan ska hamna över en springa måste avståndet D från stickans mittpunkt till springan vara mindre eller lika med (1/2)·sinq.



Hur ofta inträffar detta?

Vi gör en graf med avståndet D efter y-axeln och vinkeln q efter x-axeln och ritar in funktionen f(q) = (1/2)·sinq. Vi får då en figur som beskriver de fall när stickan lägger sig över en springa, nämligen det färgade området under kurvan, och när den inte gör det (området över kurvan).

Pi som sannolikhet

Hur stor del av hela rektangeln utgör den färgade biten, där stickan hamnar på en springa? Låt oss integrera.

Integralen av 1/2·(sinq)dq när q går från 0 till pi = (1/2)·((-cospi) - (-cos0)) = 1/2·(1+1) = 1. Ytan av hela rektangeln (som beskriver alla tänkbara utfall) är (1/2)·pi. Sannolikheten att en sticka hamnar över en springa blir då

Efter 100 kast har vi fått pi till 2,8. Bäst att fortsätta en stund till. Klicka på bilden och fortsätt själv.

Om vi kallar totala antalet kast för N och antalet kast där stickan faller över en springa för n får vi (efter oändligt många kast) att n/N=2/pi. Och detta innebär alltså att pi=2N/n.

Så var det med den saken.

Lycka till med kasten.

Håller ni på tillräckligt länge kommer ni att få

Pi = 3,14159 26535 89793 23846
26433 83279 50288 41971 69399
37510 58209 74944 59230 78164
06286 20899 86280 34825 34211
70679 82148 08651 32823 06647
09384 46095 50582 23172 53594
08128 48111 74502 84102 70193
85211 05559 64462 29489 54930
38196 44288 10975 66593 34461
28475 64823 37867 83165 27120
19091 45648 56692 34603 48610
45432 66482 13393 60726 02491
41273 72458 70066 06315 58817
48815 20920 96282 92540 91715
36436 78925 90360 01133 05305
48820 46652 13841 46951 94151
16094 33057 27036 57595...