Ursäkta att jag "svarar" på mitt eget inlägg.

En sak är jag övertygad om: Det är inte senfärdighet (hos dem som författar kursplanerna) i att hänga med i den senaste utvecklingen som är orsak till "mattekrisen", vilket Johnsson verkar antyda. Jag är säker på att en person som nyligen tagit studenten från gymnasiet på 60- eller 70-talet skulle klara sig helt fint om denne med tidsmaskin blev förflyttad till uppropet på någon av dagens naturvetenskapliga eller tekniska utbildningar.

För all del håller jag med Johnsson om att det finns anledning att omvärdera matematikundervisningen på grund- och gymnasieskolenivå. Det blir i så fall ett frustrerande arbete tillsammans med politiska och arbetsmarknadsmässiga intressen av olika slag. Jag hoppas att ett fåtal professorer, eller varför inte adjunkter, får stort ansvar och befogenhet i ett sådant arbete (och att pedagogernas inflytande blir minimalt).

Föreläsningar och övningar ska ses som ett komplement till självstudier och inte tvärt om. Ingen kurs för lärarna i varken pedagogik eller didaktik kan ändra på detta faktum.

Det egna engagemanget hos teknologerna är en förutsättning för framgångsrika studier. Alltför yviga fritidssysselsättningar kan inte kombineras med akademiska studier.

Om nu studenterna förstår lärarens budskap bättre pga pedagogik & didaktik vad är problemet? Kanske att alla föreläsare har nästan samma lön oavsett förmåga att undervisa?

Högskolelärarnas förmåga att förmedla kunskaper är nog inte problemet. Jag har sett exempel på bra kurser, med lärare som tar sin uppgift på allvar, som tvingats till förändring när andelen godkända bland de tenterande blivit allt för liten. Kurser med kringskuret och förenklat innehåll brukar dock hyllas i kursenkäterna.

Ska studenten lära sig matematik eller ska han läras matematik?
Frågan illustrerar nog att problemet handlar om en konflikt med typen av studiekultur.
Dagens studenter tror att de sak få kunskap när de på universitetet istället måste ta kunskap.
Men oavsett om man ska lärsig eller lärs matematik så står min åsikt fast att det behövs en ordentlig kompetenshöjning av pedagogik hos universiteten.

Kanske är systemet med levande föreläsningar och övningar ett förlegat koncept som bara slösar bort elevens tid och kostar universitetet pengar.
En ide skulle vara att byta ut föreläsningar och övningar mot ett mentorskap för vad studenten ska fokusera på och använda organiserade studiegrupper.
Universiteten skulle spara jättemycket pengar på hänvisa till inspelade föreläsningar på Internet och bara ge studiehandledning.
Jag rekommenderar föreläsningar från Berkeley som är helt gratis, vilken tid man vill och mycket bättre än de man besöker på KTH. "http://webcast.berkeley.edu/courses.php"
Det kanske är det som menas med IT-matematik, undervisning på Internet?

En lärare som håller en tvåtimmars föreläsning förbereder sig inför denna, trots att läraren sedan länge redan kan sitt ämne. En student som kommer till en föreläsning och kanske själv ligger efter i kursen kan naturligtvis inte ha samma utbyte av en föreläsning som en annan student som har en viss framförhållning och redan orienterat sig om föreläsningens innehåll. Det är den senare metoden som kan leda till framgång.

Den som saknar gymnasieskolans metoder med inlämningsuppgifter, beting och problemlösning under lektionstid med en lärare som kommer och besvarar frågor då man räcker upp handen, kanske inte trivs med traditionella akademiska föreläsningar. Jag tror att en och samma lärare bedöms helt olika av sina studenter, beroende på om dessa är beredda på vad akademiska studier kräver eller ej.

Didaktik är ingen vetenskap. Ingen har ens lyckats definiera begreppet på ett vettigt sätt. Att tro på didaktiken är som att tro på en messias som ska komma för att ge oss alla frälsning. Under alla omständigheter kommer man under mycket lång tid framöver att behöva ta eget ansvar för sitt lärande.

Föreläsningar och räkneövningar ska ses som ett komplement till självstudier. Matematikböcker läser man inte som man läser romaner; en boksida kan kräva många timmars studier, där man själv, med papper och penna, prövar och vänder och vrider de idéer texten givit upphov till. Sådant tar tid och kräver engagemang. Men, det finns alltså ingen kungsväg till matematiken.

Mängdbegreppet är, enligt min mening, matematikens mest fundamentala begrepp.
Jag var matematiklärare i skolan under mängdlärans tid. Den goda idén med mängdlärare förfelades tyvärr totalt av dem som skrev läroplanerna, där det stod att man uteslutande skulle ägna tiden åt formalism och inte åt att utnyttja mängdbegreppet som ett fundament för matematiken.

Bernoullis ekvation är ju i princip en omformulering av Newtons lagar; en omformulering som är anpassad till exempelvis situationen med en luftström kring en flygplansvinge. Det finns förvisso alternativa infallsvinklar på problemet.

Barn gillar visst att lära sig "meningslösa" saker! Barn har ingen nyttoaspekt då de lär sig tala, lär sig ramsor som "måndag, tisdag, onsdag, ..." eller ens då de lär sig läsa och skriva i sdkolan.
Vid litet högre ålder har barn därmed en referensram att fylla ut med nya saker och kan också börja uppfatta en struktur hos alltsammans, såsom att sju dagar bildar en vecka.

Det är vuxna som ständigt förringar "onyttiga" kunskaper. Det synsättet försöker man även att få barnen att anamma. Skolans läroböcker i matematik har tex. en massa uppgifter som låtsas vara "verklighetsanknutna", såsom att "längden av en solros kan beräknas med detta polynom ...". Rent nonsens, alltså!

Ulf skrev "Undervisning är en del av en social och ideologisk process i vilken gemensamma normer och värdegrunder befästes, såsom upplevelsen av att matematik är vackert och viktigt och att sökandet efter kunskap för sin egen skull faktiskt kan ge livet mening." Det synsättet bör man ha! Då blir matematiken intressant och meningsfull!

"Undervisning är en del av en social och ideologisk process i vilken gemensamma normer och värdegrunder befästes, såsom upplevelsen av att matematik är vackert och viktigt och att sökandet efter kunskap för sin egen skull faktiskt kan ge livet mening."
Är det en personlig uppfattning eller går det att styrka med hjälp av forskning om lärande. Enligt Ulf går det ju knappast att forska om lärande eftersom vetenskap om lärande inte existerar.

Nej, någon vetenskap om lärande finns inte. Med öppna sinnen kommer man fram till ovanstående ståndpunkt.

"Med öppna sinnen". Vad menar Arne egentligen? Jag är också nuyfiken på Arnes defenition av begreppet vetenskap. Slutligen vill jag rekomendera alla, med eller utan öppna sinnen, att undervisa på gymnasiet för att nyansera sina fördommar ta del av hur man lär sig matematik. Den introspektiva metoden har nämligen visat sig fruktlös i psykologisk forskning.

"Med öppna sinnen". Vad menar Arne egentligen? Jag är också nyfiken på Arnes definition av begreppet vetenskap. Slutligen vill jag rekommendera alla, med eller utan öppna sinnen, att undervisa på gymnasiet för att nyansera sina fördomar ta del av hur man lär sig matematik. Den introspektiva metoden har nämligen visat sig fruktlös i psykologisk forskning.

Är det försent att skylla på tangentbordet?

Läs boken av Tord Ganelius som jag refererar till nedan, så kommer du att uppleva matematiken som något intressant och spännande.

Beträffande definitionen på begreppet vetenskap, se tex. www.math.chalmers.se/~ulfp/Didactics/did11.ps

Jag tycker nog att matematiken är intressant och spännande och rekommenderar gärna "Från Euklides till Hilbert" av Boris Sjöberg, eller varför inte den lättsamma "Fermat's Last Theorem" av S. Sing. Men "Logik der Forschung" av K. Popper kanske är mer relevant för diskussionen. Definitionen av vetenskap som Arne refererar till är något föråldrad (läs sekelskiftet 1900), men fortfarande gällande för naturvetenskapen. Att något gäller som naturvetenskap är ett tillräckligt, men inte nödvändigt villkor för att gälla som vetenskap.

"Logik der Forschung" av K. Popper är förmodligen en bra bok. Jag har inte läst den, men Popper har formulerat kriterier för vetenskaplighet. Ulf Persson är annars en god kännare av Poppers skrifter.

Då har han förmodligen inte tagit till sig Poppers reviderade definition av vetenskap. I övrigt är det anmärkningsvärt att på ett så brutalt sätt behandla vetenskapsteorin som argumentationen bygger på.
Avslutningsvis vill jag tillägga att ingen vinner på att vara dogmatisk i skoldebatten. Vi måste se verkligheten för vad den är. Återigen vill uppmanar jag, alla matematiker som knyter näven i fickan, att delta i praktisk matematikundervisning på gymnasiet. Verkligheten finns där ute, analysen finns där inne.

God Jul

Jag tror att Ulf är väl insatt i Poppers budskap och jag är även övertygad om att han förstått det.

Se själv vad Ulf har skrivit:
http://www.math.chalmers.se/~ulfp/Review/popper.pdf
http://www.math.chalmers.se/~ulfp/Review/historicism.pdf

Du tycks ha studerat matematik på alldeles fel sätt! Bevis ska absolut inte memoreras. Man ska förstå dem och har man väl gjort det, är det ganska enkelt att själv göra om dem. Vissa bevis är dock väldigt invecklade, men då bör man först genomskåda bevisets struktur. (Tex. om A är ekvivalent med B, så bevisas lämpligen först att A medför B och sedan att även B medför A.)

Om du vill veta litet om vad matematik egentligen är, rekommenderar jag boken "Introduktion till matematiken" av Tord Ganelius. Den finns numera även i nätupplaga på adressen http://www.tex-sales.se/Books/Matematik/GaneliusScreen.pdf. (Du kan även söka med Google på "ganelius" och "introduktion".)

Kanske du inte har tid att läsa boken nu, men jag rekommenderar i så fall att du läser förorden av Dan Laksov och av Tord Ganelius själv. Dessutom har Ulf Persson skrivit ett läsvärt appendix.

(Tack för en för en gångs skull bra tråd på NyTekniks kommentarer)
Jag håller med JPT att de flesta på ingenjörsutb väljer memoreringspricipen för bevisen. Det går inte att "examinera" bort om man inte ändrar på tentamensformen så att det är nya saker som ska bevisas (på liknande sätt och svårighetsgrad som bevis i textboken). Eller på annat sätt "jobba" med bevisets konstruktion så att man säkert fattar vad det handlar om.
I brist på detta kan det vara bättre att lägga tiden på några få bevis och sedan fokusera mer på tillämningen eller att ha verklig koll på vad dagens teori/algoritm klarar av att tillämpas på, dvs state of the art. Många saknar detta och är därmed klart undermåliga som ingenjörer!

Kanske du inte borde ha studerat matematik på den nivån som du har studerat? Att förstå matematik och logiken bakom matematiska bevis krävs kanske inte av alla, men för forskning inom naturvetenskap så är det absolut nödvändigt med den typen av logiskt tänkade och problemlösningsmetodik . Man borde kanske ändra på hur utbildningssystemet ser ut på universitet och högskola ? Kanske man ska försöka profilera ingenjörsutbildningarna mer? Minska antalet platser på civilingenjörsutbildningen och öka med motsvarande grad på högskoleingenjörsutbildningarna. På det sättet kan man hålla en hög nivå på matematikutbildningen på civilingenjörsprogrammet och samtidigt upperätthålla en god tillgång av ingenjörer till industrin. Som JPT påpekade, i de flesta fall så behöver inte industrin och näringslivet den grundläggande matematiska kunskapen som man lär ut inom civilingenjörsprogrammet idag.

När det gäller långa och besvärliga bevis tror jag säkert att examinator accepterar att man redogör för hur beviset är uppbyggt. Tag tex. Implicita funktionssatsen. Om någon ens skulle fråga efter beviset så räcker det nog med att man beskriver bevisets struktur utan att behöva gå in på detaljer.

Ok, mycket välformulerat och medryckande. Vad bör då bli följden för vårt skolsystem?

Två problem med matematikundervisningen i skolorna är dels undervisningsmetoderna och dels examinationen. Under grupparbeten och räkning på egen hand och med avskaffade hemläxor förvärvas inte mycket kunskap. Vid betygsättningen avviker man från resultaten på de nationella proven, med diverse konstlade motiveringar, såsom ”vi måste ta hänsyn även till sådana kunskaper som inte går att mäta”. Men ett betyg som tar hänsyn till sådana ”kunskaper” utgör faktiskt ett mått på sådana ”kunskaper”!

Vissa grundläggande saker, som bråkräkning och trigonometri, måste behärskas rutinmässigt för att det ska gå att följa akademiska kurser i matematik. På min tid lärde man sig bråkräkning i femte klass. Det är inte högskolelärarnas fel om teknologerna inte behärskar saker som bör ingå bland förkunskaperna. Enligt de skolbetyg teknologerna har skulle de ju behärska dessa moment väl, men skolbetygen sätts ju numera tämligen godtyckligt.

Förståelsen kan ligga på olika nivåer. Den som vill förstå bråkräkning fullt ut måste lära sig vissa elementa om talteori. Det ingår naturligtvis inte i gymnasiekursen. Att lära sig rutinräkna med bråk leder dock till den förståelse man behöver för att kunna koncentrera sig på nya matematiska uppgifter.

Så länge lärarna tror att matematik är något man lär sig utantill genom repetitiva beräkningar kommer problemen att kvarstå. En lämplig ingång till matematik finns i filosofi. I samma rum som grunden för sanninsbegreppet diskuteras kan definitionsmässig sanning förstås. Att lära ut matematik och naturvetenskapliga ämnen utan att lägga en grund i praktisk filosofi är att riskera elevernas kritiska tänkande.

Jag tror inte det är möjligt att skapa full förståelse av tex. de rationella talen samtidigt som de introduceras i grundskolan.
Mängden av de rationella talen ("bråken"), Q, definieras som en mängd ekvivalensklasser av par av heltal. Mängden av dessa ekvivalensklasser ska dessutom uppfylla vissa kriterier.
Det vore inte förnuftigt att kräva att barn ska förstå något sådant, men det är förnuftigt med en konkret infallsvinkel och att man tränar förmågan att räkna rutinmässigt. Den abstrakta definitionen måste nog hänföras till akademisk nivå. Så är det fö. med många matematiska begrepp.

Men på akademisk nivå vore en filosofisk infallsvinkel bra för förståelse på en högre nivå. Matematiklärare i skolan borde ha en sådan förståelse, även om de inte förmedlar den till eleverna. Det gäller att skapa en trygghetsmarginal i undervisningen, så att en lärare är helt säker på de moment som avhandlas i undervisningen.

Att ta utgångspunkt i förståelse och kritiskt tänkande är det enda som är förnuftigt. Allt annat är att likställa med religion - även då det kallas matematik.

Och barn förstår. Barn ser att kejsaren är naken. Mjölken kan inte "gå ut" eftersom den inte har några ben. Det är grunden för matematisk förståelse.

Jag tror inte att ekvivalensklasser är den första byggstenen i atomär matematisk förståelse.

Men för att vara ärlig vet jag inte vad ekvivalensklasser är för något. Det jag vet är att min förståelse har varit en dyrköpt akademisk resa som till betydande delar har handlat om att rasera det som grundskolan byggt upp. Inklusive en syn på matematik som ett esoteriskt ämne byggt på gåtfulla orubbliga sanningar.

AS försöker försvara den logisk-formella matematiska skola som vetenskapligt kollapsade på 30talet med Gödel, men som trots detta tog kontrollen över alla matematiska institutioner genom utrensning av kontruktivister, och som märkvärdiserar trivialiteter till obegriplighet. Konstruktiv matematik däremot kan vara både icke-trivial och begriplig och kan utgöra grund för matematikundervisning.

Jag känner naturligtvis till Gödels upptäckt. En modern framställning av talsystemet är att det utgör en mängd med en uppsättning postulat uppfyllda. Därmed kan man frigöra sig från abstrakta konstruktioner som omfattar ”ekvivalensklasser av par av heltal”, ”ekvivalensklasser av cauchyföljder”, ”ekvivalensklasser av polynom modulo x^2+1” mm.

En hygglig och tillräcklig matematisk förståelse för tex. civilingenjörsstudier kan man givetvis få genom en mer intuitiv framställning av talsystemet. Jag förordar naturligtvis en sådan, som möjligen senare kunde kompletteras med en kurs i elementär talteori, för den som är intresserad.

Mängdlära är exempel på en ur konstruktiv synvinkel väsentligen meningslös trivial logisk-formell teori. Anledningen att skolan misslyckades med att lära folket mängdlära var att denna lära, med rätta, uppfattades av folket som en meningslös obegriplighet. Om man rensade skolmatematiken från liknande meningslösa obegripligheter skulle mycket vara vunnet.

Bäste Claes Johnson!

Jag antar att du menar att mängdläran är trivial och meningslös inom skolmatematiken. Mängdbegreppet har ju givit den högre matematiken en stabil grund att stå på. Mängdbegreppet är, enligt min mening, matematikens mest fundamentala begrepp. Utan mängdbegreppet hade det varit mycket svårt att utveckla den abstrakta algebran. Jag antar att du inte anser även den meningslös.

Att införa mängdläran i skolan var dömt att misslyckas. Dels var de allra flesta matematiklärare motståndare till mängdläran och dels hade de själva läst sina akademiska matematikkurser utan att man i dessa låtit mängdbegreppet spela någon framträdande roll. Vidare nöjde man sig i skolan med att endast införa mängdformalismen. Detta var onekligen meningslöst.

Man kunde istället ha tagit ännu ett steg, genom att tex. införa det viktiga begreppet ekvivalensklasser. Ett enkelt exempel på sådana är de naturliga talen modulo 10, dvs. man kunde ha sagt att alla naturliga tal med samma slutsiffra bildar en ekvivalensklass. Man kunde ha infört en binär binära operation ”plus” i mängden av dessa ekvivalensklasser och därmed kunnat exemplifiera begreppet abelsk grupp. I samband med detta kunde man ha belyst kryptering med öppen nyckel. Telefonnummer kan krypteras genom att man exempelvis adderar talet 7 till varje tal i numret och sedan endast tar fasta på slutsiffran, om resultatet råkade bli tvåsiffrigt. Dekryptering kan sedan göras med den ”hemliga” dekrypteringsnyckeln ”addera 3”. Diffies och Hellmans idé kunde alltså ha förståtts av sjuåringar! Men jag sörjer inte att mängdläran utgått från skolmatematiken. Det finns viktigare delar av matematiken att studera på skolnivå.

De naturliga talen modulo 10 kan betraktas som en mycket enkel abelsk grupp. Den är dock ingalunda trivial! Man kan finna delgrupper och man kan bilda sidoklasser. Man kan belysa (om än ej bevisa) Lagranges sats. Man kan införa två binära operationer (komplettera med ”multiplikation”) och hade därmed haft en ring osv. Så kunde man ha gjort, men den dessa möjligheter att visa mängdbegreppets potential för skolelever är nu försuttna. Det är dock inget att sörja över. Vad som däremot är tragiskt är att nya friska tag inom skolmatematiken tycks dröja.

Hälsningar,

Kan Du ange något resultat från mängdläran som kan vara angeläget att lära ut, i skola? i högskola?

Jag anser att om man undviker att nämna mängdbegreppet så använder man det ändå, fast implicit. Abel och Galois klarade sig utan mängdbegreppet, vad jag kan förstå, men deras idéer blev lättare att formulera och förstå med hjälp av mängdbegreppet.

Jag tror att sammanhangen inom matematiken kan framhävas med mängdbegreppet. Detta är inte angeläget i skolan och antagligen inte heller i kurser för blivande civilingenjörer. Men förvisso är mängdbegreppet väsentligt i många andra sammanhang. Jag tror tex. inte att man kan förstå sannolikhetsteori utan att känna till måttbegreppet och detta är ju minst sagt intimt förknippat med begreppet mängd.

Att undvika begreppet mängd är som att säga ”gråben” istället för ”vargen”. Själv räds jag ingendera.

Du tvekar att nämna något teorem i mängdläran. Är det för att det saknas?
Är då inte en teori utan resultat en tom teori? Jfr Wittgensteins kritik av mängdläran som varande tom.

Jag medger att jag inte vet vilka teorem inom mängdläran som är oundgängliga och vilka som inte är det.

I matematiken har man ett kraftfullt verktyg att modellera stora delar av vår omvärld. Algebran kan sägas utgöras av mängder med vissa strukturer. Med algebra kan man på motsvarande sätt modellera stora delar av matematiken själv.

Med hjälp av algebra kan man växla synsätt inom matematiken, vilket kan vara givande. Tex. utgör de reella talen en kropp, men de kan även sägas utgöra ett vektorrum med sig själva som skalärkropp. Jag medger även att jag inte kan nämna situationer när detta kan vara givande, men jag finner att det kan vara intressant med olika infallsvinklar på ett och samma matematiska begrepp.

Jag tvivlar på att tex. topologi kunde ha utvecklats utan mängdbegreppet. Kanske det är fråga om rena matematiska spetsfundigheter när man med hjälp av topologi generaliserar begrepp som kontinuitet och deriverbarhet.

Arne Söderqvist,

Jag har läst Dina och Claes Johnsons inlägg ovan med stort intresse.

Du beskriver matematiken som ett kraftfullt verktyg för modellering. Modellering kan beskrivas som en process där ett eller flera begrepp får representera ett eller flera andra begrepp; det är konstruktionen av ett system med minst två komponenter. För att ett sådant system ska bli meningsbärande krävs någon form av konsistent resonemang beträffande systemets komponenter. Paul Lockhart (2002, pp.18-23) berör detta tema då han beskriver matematisk färdighet som framväxande ur den egna argumentationen under ledning av lärare. Han vidhåller att matematikens kärna fördunklas då resonemangskonst ersätts med formelträning. Denna prioritetsordning menar L. (2002, pp.24-25) genomsyrar skolmatematiken i sin nuvarande form på ett sätt som alienerar många elever från ämnet. Vad anser Du om denna kritik?

Referens
Lockhart, P. (2002). A Mathematician's Lament. Tillgänglig:
http://www.maa.org/devlin/LockhartsLament.pdf

"Paul Lockhart (2002, pp.18-23) berör detta tema då han beskriver matematisk färdighet som framväxande ur den egna argumentationen under ledning av lärare."
Jag anser att detta påstående är riktigt.

"... matematikens kärna fördunklas då resonemangskonst ersätts med formelträning."
Formelträning är inte matematik.

Här följer att antal påståenden som alla
har med skolmatematik att göra.
Intressant att få veta i hur många av
dessa Du instämmer.

A) Problemet med skolmatematiken inte löst
förrän om 40 år -- då dagens nyutexaminerade
lärare går i pension.

B) För ett problem givet i textform (1) är skapandet
av modellen (2) det viktigaste. När väl ekvationen,
diffekvationen eller ekvationssystemet är
uppställd är problemet löst. Det numeriska svaret
(3) är av underordnad betydelse.

C) Idag ägnas nästan all tid i skolan åt att ta
sig från (2) till (3).

D) Grunderna i matematik hos många av dagens
studenter så porös att man idag inte ens kan bygga
ett korthus på dem. Om de på högskolenivå ska ges
en hygglig känsla för aritmetik och algebra
(bokstavsräkning) är all tid sedan förbrukad.

E) Det är mer utvecklande att lösa en medelsvår SUDOKU
än att finna rötterna till en given andragradsekvation.
Drillräknandet ökar inte förståelsen för matematik.
Bevis i all ära men även "exhausted search" har något
att ge. Ingen försöker lösa en sudoku
genom testa alla siffror i alla tomma rutor.
Redan efter några försök har lösaren funnit genvägar
och små "knep", som snabbare leder till lösningen.
Det är situationer som leder till liknande små
egenupptäckta "satser" som skolan ska skapa!

E) Djupet i en matematikkurs bestäms av antalet studerande.
Ju fler av en årskurs som "tvingas" studera en viss
kurs desto grundare djup.
Arean: (antalet elever)*(djupet)=KONSTANT

F) Innehållet i matematikundervisningen är inte speciellt
viktigt. Det viktiga är att ge eleven en "verktygslåda"
med vars hjälp man kan lösa problem (inom vilket område
det vara må). Geometri, kombinatorik och talteori är
exempel på lämpliga områden. Och inte minst, (jag vågar
knappt nämna det här) programmering. Små korta program
på cirka 30-40 rader. En mycket begränsad verktygslåda
som kan kombineras i all oändlighet. Tvingar eleven till
generalisering och stimulerar kreativiteten.

G) Matematik har i skolan blivit det ämne, som ska utveckla
en individs förmåga att tänka, lösa problem, analysera,
generalisera och abstrahera. Ett tungt lass. Till detta
kommer "trivialiteter" som att reducera ett dubbelbråk,
finna en primitiv funktion med hjälp av substitution,
lösa ett ekvationssystem med tre obekanta...
Ett annat tungt lass som fått överhand.

”Här följer att antal påståenden som alla
har med skolmatematik att göra.
Intressant att få veta i hur många av
dessa Du instämmer.”
Frågorna verkar inte vara ställda till mig, men jag passar ändå på att ge mina synpunkter.


A.) Jag befarar att det kan gå så illa.

B.) Du tycks mena att den matematiska modelleringen är det viktigaste. Jag har träffat många som har det synsättet. Men om lösningen ligger förborgad i ekvationen är den ju oanvändbar. En explicit formulering av lösningen kan däremot ge klarhet. Maxwell formulerade sina elektromagnetiska ekvationer och det var först sedan han hittat lösningar till dem som han kunde förutsäga existensen av radiovågor.
C.) Dessvärre blir det nog inte mycket av någotdera i skolan nu för tiden. Hur effektiva eleverna är när de googlar och grupparbetar vet nog inte lärarna mycket om.

D.) Den matematiska grunden är ofta bräcklig hos nyantagna teknologer. Trots det kan betygen vara höga. Bråkräkning, potenslagarna, andragradsekvationer, logaritmlagarna, kvadreringsregler, grundläggande trigonometri, för att inte nämna multiplikationstabellen för ensiffriga tal, borde behärskas vid övergången till akademiska studier.

E1.) Man kunde konstruera en sudoku där man ska använda andra symboler än siffror. Sudoku har ändå med matematik att göra; man tränar sin förmåga till kombinatoriska resonemang då man löser en sådan.

E2.) Ja, uppenbarligen anpassas kravnivån så att de minst motiverade ska kunna klara sig.
F.) Matematiken är allmängiltig och kan tillämpas på vitt skilda ämnesområden.

G.) Tyvärr anser jag att man inte når särskilt långt beträffande någon av målsättningarna.

Din beskrivning av den matematikundervisning du beståtts får mig att instämma i att den verkar ha varit dålig. Matematik är inte detsamma som formeldrillning.

Verkligheten är komplicerad. Varje matematisk modell innebär en idealisering av verkligheten. Gymnasiematematiken räcker inte till för lösning av särskilt avancerade ”verkliga” problem. Skolböckerna försöker ge intryck av att avspegla verkligheten, men den bluffen genomskådar de flesta. Det kan tex. stå att längden av en solrosplanta kan beräknas som värdet av ett angivet polynom. Skulle man istället utgå från den relevanta problematik man stöter på i vardagen, skulle man antingen uppleva att sysslor man förr klarade rutinmässigt blev onödigt tillkrånglade om man tog matematiken till hjälp eller att man kan alldeles för litet matematik. Bara att beskriva matematiskt vad som händer då man spolar vatten ur kranen i köket kräver kunskaper i bla. vektoranalys. Jag tror alltså inte att ”verkligheten” är någon bra inspirationskälla för matematikstudier på gymnasienivå.

Men, jag ska härmed ge dig ett litet vardagligt problem nu i juletid, som du faktiskt bör klara med grundskolekunskaper i matematik och fysik:
Vad händer om man tar en lampa från en el-ljusstake med sju ljus (den lampan ska ha spänningen 34 V) för att ersätta en av lamporna i en julgransbelysning med sexton lampor (där varje lampa ska ha spänningen 14 V)?
De flesta skulle nog anse att lampan som ska tåla spänningen 34 V mycket väl tål spänningen 14 V. Men, är det rätt tänkt? Om du prövar dig fram bör du ha en reservlampa hemma, i beredskap.

” Matematiken är abstrakt: den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald situationer, men också för att den logiska giltigheten hos resonemangen skall kunna klarläggas.”
Citatet är hämtat från http://www.math.uu.se/~kiselman/vadmatematik.html Jag tror inte att det kan uttryckas bättre!

Beträffande gymnasiematematikens ”verklighetsanknytning”, se http://mdh.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2:120566. Klicka sedan på FULLTEXT01 » under rubriken FILINFORMATION på nedre delen av sidan. I denna uppsats står att såväl gymnasielärare som elever anser det vara viktigt att skolmatematiken är verklighetsanknuten och vardagsnära. Uppsatsen är på totalt 25 sidor. Ingenstans finns emellertid något exempel på hur gymnasiematematiken kunde göras ”verklighetsanknuten”.
Tydligen är även didaktiken abstrakt och frigjord från all konkret problematik! Vad didaktik egentligen går ut på är fortfarande en gåta.